Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42252 / 10189
↖ ↑ ↗
← N 76.904444°
E 52.097168°		 ← 138.40 m → N 76.904444°
E 52.102661°		 →
↑
138.44 m
↓
↑
138.44 m
↓
N 76.903199°
E 52.097168°		 ← 138.42 m →
19 162 m²		 N 76.903199°
E 52.102661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644721984863281 y=0.155479431152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644721984863281 × 216)
    floor (0.644721984863281 × 65536)
    floor (42252.5)     		tx = 42252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155479431152344 × 216)
    floor (0.155479431152344 × 65536)
    floor (10189.5)     		ty = 10189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42252 / 10189 ti = "16/42252/10189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42252/10189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42252 ÷ 216
    42252 ÷ 65536     		x = 0.64471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10189 ÷ 216
    10189 ÷ 65536     		y = 0.155471801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64471435546875 × 2 - 1) × π
    0.2894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90926711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155471801757812 × 2 - 1) × π
    0.689056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1647345130425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90926711} λ = 0.90926711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1647345130425))-π/2
    2×atan(8.71228861079236)-π/2
    2×1.45651603591267-π/2
    2.91303207182534-1.57079632675     		φ = 1.34223575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90926711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34223575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.904444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42252 KachelY 10189 0.90926711 1.34223575 52.097168 76.904444
    Oben rechts KachelX + 1 42253 KachelY 10189 0.90936299 1.34223575 52.102661 76.904444
    Unten links KachelX 42252 KachelY + 1 10190 0.90926711 1.34221402 52.097168 76.903199
    Unten rechts KachelX + 1 42253 KachelY + 1 10190 0.90936299 1.34221402 52.102661 76.903199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34223575-1.34221402) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dl = 138.441830000338m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34223575-1.34221402) × R
    2.17300000000531e-05 × 6371000     		dr = 138.441830000338m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90926711-0.90936299) × cos(1.34223575) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226575769838426 × 6371000     		do = 138.404144337851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90926711-0.90936299) × cos(1.34221402) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226596934664606 × 6371000     		du = 138.417072903247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34223575)-sin(1.34221402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226575769838426-0.226596934664606)×R²
    abs(0.90936299-0.90926711)×2.11648261797259e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.11648261797259e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.11648261797259e-05×40589641000000     		ar = 19161.8179498324m²