Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4225 / 4339
↖ ↑ ↗
← S 10.617418°
E  5.668945°		 ← 4 802.83 m → S 10.617418°
E  5.712891°		 →
↑
4 802.52 m
↓
↑
4 802.52 m
↓
S 10.660608°
E  5.668945°		 ← 4 802.15 m →
23 064 089 m²		 S 10.660608°
E  5.712891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51580810546875 y=0.52972412109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51580810546875 × 213)
    floor (0.51580810546875 × 8192)
    floor (4225.5)     		tx = 4225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52972412109375 × 213)
    floor (0.52972412109375 × 8192)
    floor (4339.5)     		ty = 4339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4225 / 4339 ti = "13/4225/4339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4225/4339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4225 ÷ 213
    4225 ÷ 8192     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4339 ÷ 213
    4339 ÷ 8192     		y = 0.5296630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5296630859375 × 2 - 1) × π
    -0.059326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.186378665722778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186378665722778))-π/2
    2×atan(0.829959258348995)-π/2
    2×0.692743711726832-π/2
    1.38548742345366-1.57079632675     		φ = -0.18530890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18530890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.617418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4225 KachelY 4339 0.09894176 -0.18530890 5.668945 -10.617418
    Oben rechts KachelX + 1 4226 KachelY 4339 0.09970875 -0.18530890 5.712891 -10.617418
    Unten links KachelX 4225 KachelY + 1 4340 0.09894176 -0.18606271 5.668945 -10.660608
    Unten rechts KachelX + 1 4226 KachelY + 1 4340 0.09970875 -0.18606271 5.712891 -10.660608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18530890--0.18606271) × R
    0.000753809999999994 × 6371000     		dl = 4802.52350999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18530890--0.18606271) × R
    0.000753809999999994 × 6371000     		dr = 4802.52350999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(-0.18530890) × R
    0.000766989999999995 × 0.982879382651428 × 6371000     		do = 4802.83350820552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09970875) × cos(-0.18606271) × R
    0.000766989999999995 × 0.982740213805655 × 6371000     		du = 4802.15346057447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18530890)-sin(-0.18606271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982879382651428-0.982740213805655)×R²
    abs(0.09970875-0.09894176)×0.000139168845773252×R²
    0.000766989999999995×0.000139168845773252×6371000²
    0.000766989999999995×0.000139168845773252×40589641000000     		ar = 23064088.9575463m²