Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42230 / 10229
↖ ↑ ↗
← N 76.854565°
E 51.976318°		 ← 138.91 m → N 76.854565°
E 51.981811°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
N 76.853316°
E 51.976318°		 ← 138.92 m →
19 293 m²		 N 76.853316°
E 51.981811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644386291503906 y=0.156089782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644386291503906 × 216)
    floor (0.644386291503906 × 65536)
    floor (42230.5)     		tx = 42230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156089782714844 × 216)
    floor (0.156089782714844 × 65536)
    floor (10229.5)     		ty = 10229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42230 / 10229 ti = "16/42230/10229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42230/10229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42230 ÷ 216
    42230 ÷ 65536     		x = 0.644378662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10229 ÷ 216
    10229 ÷ 65536     		y = 0.156082153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644378662109375 × 2 - 1) × π
    0.28875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90715789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156082153320312 × 2 - 1) × π
    0.687835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16089956107289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90715789} λ = 0.90715789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16089956107289))-π/2
    2×atan(8.67894138579712)-π/2
    2×1.45608076996016-π/2
    2.91216153992032-1.57079632675     		φ = 1.34136521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90715789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.976318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34136521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.854565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42230 KachelY 10229 0.90715789 1.34136521 51.976318 76.854565
    Oben rechts KachelX + 1 42231 KachelY 10229 0.90725376 1.34136521 51.981811 76.854565
    Unten links KachelX 42230 KachelY + 1 10230 0.90715789 1.34134341 51.976318 76.853316
    Unten rechts KachelX + 1 42231 KachelY + 1 10230 0.90725376 1.34134341 51.981811 76.853316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34136521-1.34134341) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34136521-1.34134341) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90715789-0.90725376) × cos(1.34136521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227423584215607 × 6371000     		do = 138.907543848455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90715789-0.90725376) × cos(1.34134341) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22744481291284 × 6371000     		du = 138.920510077098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34136521)-sin(1.34134341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227423584215607-0.22744481291284)×R²
    abs(0.90725376-0.90715789)×2.12286972326448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12286972326448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12286972326448e-05×40589641000000     		ar = 19293.4635948369m²