Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4223 / 12522
↖ ↑ ↗
← N 39.010647°
W133.604737°		 ← 949.25 m → N 39.010647°
W133.593750°		 →
↑
949.28 m
↓
↑
949.28 m
↓
N 39.002110°
W133.604737°		 ← 949.36 m →
901 157 m²		 N 39.002110°
W133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128890991210938 y=0.382156372070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128890991210938 × 215)
    floor (0.128890991210938 × 32768)
    floor (4223.5)     		tx = 4223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382156372070312 × 215)
    floor (0.382156372070312 × 32768)
    floor (12522.5)     		ty = 12522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4223 / 12522 ti = "15/4223/12522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4223/12522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4223 ÷ 215
    4223 ÷ 32768     		x = 0.128875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12522 ÷ 215
    12522 ÷ 32768     		y = 0.38214111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.74224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33184255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38214111328125 × 2 - 1) × π
    0.2357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.740529225330627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33184255} λ = -2.33184255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.740529225330627))-π/2
    2×atan(2.09704503022602)-π/2
    2×1.12583028458092-π/2
    2.25166056916184-1.57079632675     		φ = 0.68086424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33184255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.604737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68086424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.010647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4223 KachelY 12522 -2.33184255 0.68086424 -133.604737 39.010647
    Oben rechts KachelX + 1 4224 KachelY 12522 -2.33165080 0.68086424 -133.593750 39.010647
    Unten links KachelX 4223 KachelY + 1 12523 -2.33184255 0.68071524 -133.604737 39.002110
    Unten rechts KachelX + 1 4224 KachelY + 1 12523 -2.33165080 0.68071524 -133.593750 39.002110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68086424-0.68071524) × R
    0.000148999999999955 × 6371000     		dl = 949.278999999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68086424-0.68071524) × R
    0.000148999999999955 × 6371000     		dr = 949.278999999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33184255--2.33165080) × cos(0.68086424) × R
    0.000191750000000379 × 0.777029000346795 × 6371000     		do = 949.249125213785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33184255--2.33165080) × cos(0.68071524) × R
    0.000191750000000379 × 0.777122781976022 × 6371000     		du = 949.363692532978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68086424)-sin(0.68071524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777029000346795-0.777122781976022)×R²
    abs(-2.33165080--2.33184255)×9.37816292272409e-05×R²
    0.000191750000000379×9.37816292272409e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.37816292272409e-05×40589641000000     		ar = 901156.640176453m²