Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42229 / 10230
↖ ↑ ↗
← N 76.853316°
E 51.970825°		 ← 138.94 m → N 76.853316°
E 51.976318°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 76.852067°
E 51.970825°		 ← 138.95 m →
19 306 m²		 N 76.852067°
E 51.976318°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644371032714844 y=0.156105041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644371032714844 × 216)
    floor (0.644371032714844 × 65536)
    floor (42229.5)     		tx = 42229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156105041503906 × 216)
    floor (0.156105041503906 × 65536)
    floor (10230.5)     		ty = 10230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42229 / 10230 ti = "16/42229/10230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42229/10230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42229 ÷ 216
    42229 ÷ 65536     		x = 0.644363403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10230 ÷ 216
    10230 ÷ 65536     		y = 0.156097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644363403320312 × 2 - 1) × π
    0.288726806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90706201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156097412109375 × 2 - 1) × π
    0.68780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16080368727365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90706201} λ = 0.90706201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16080368727365))-π/2
    2×atan(8.67810934259929)-π/2
    2×1.45606986746985-π/2
    2.9121397349397-1.57079632675     		φ = 1.34134341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90706201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.970825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34134341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.853316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42229 KachelY 10230 0.90706201 1.34134341 51.970825 76.853316
    Oben rechts KachelX + 1 42230 KachelY 10230 0.90715789 1.34134341 51.976318 76.853316
    Unten links KachelX 42229 KachelY + 1 10231 0.90706201 1.34132160 51.970825 76.852067
    Unten rechts KachelX + 1 42230 KachelY + 1 10231 0.90715789 1.34132160 51.976318 76.852067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34134341-1.34132160) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34134341-1.34132160) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90706201-0.90715789) × cos(1.34134341) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.22744481291284 × 6371000     		do = 138.935000586201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90706201-0.90715789) × cos(1.34132160) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227466051239842 × 6371000     		du = 138.947974049683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34134341)-sin(1.34132160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22744481291284-0.227466051239842)×R²
    abs(0.90715789-0.90706201)×2.1238327001849e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.1238327001849e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.1238327001849e-05×40589641000000     		ar = 19306.1294650824m²