Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42227 / 10227
↖ ↑ ↗
← N 76.857064°
E 51.959839°		 ← 138.88 m → N 76.857064°
E 51.965332°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
N 76.855815°
E 51.959839°		 ← 138.89 m →
19 290 m²		 N 76.855815°
E 51.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644340515136719 y=0.156059265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644340515136719 × 216)
    floor (0.644340515136719 × 65536)
    floor (42227.5)     		tx = 42227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156059265136719 × 216)
    floor (0.156059265136719 × 65536)
    floor (10227.5)     		ty = 10227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42227 / 10227 ti = "16/42227/10227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42227/10227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42227 ÷ 216
    42227 ÷ 65536     		x = 0.644332885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10227 ÷ 216
    10227 ÷ 65536     		y = 0.156051635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644332885742188 × 2 - 1) × π
    0.288665771484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90687027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156051635742188 × 2 - 1) × π
    0.687896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16109130867137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90687027} λ = 0.90687027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16109130867137))-π/2
    2×atan(8.68060571152533)-π/2
    2×1.45610257188739-π/2
    2.91220514377479-1.57079632675     		φ = 1.34140882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90687027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.959839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34140882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.857064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42227 KachelY 10227 0.90687027 1.34140882 51.959839 76.857064
    Oben rechts KachelX + 1 42228 KachelY 10227 0.90696614 1.34140882 51.965332 76.857064
    Unten links KachelX 42227 KachelY + 1 10228 0.90687027 1.34138702 51.959839 76.855815
    Unten rechts KachelX + 1 42228 KachelY + 1 10228 0.90696614 1.34138702 51.965332 76.855815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34140882-1.34138702) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dl = 138.887800000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34140882-1.34138702) × R
    2.18000000000718e-05 × 6371000     		dr = 138.887800000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90687027-0.90696614) × cos(1.34140882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227381116758851 × 6371000     		do = 138.881605245245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90687027-0.90696614) × cos(1.34138702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227402345672285 × 6371000     		du = 138.894571605941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34140882)-sin(1.34138702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227381116758851-0.227402345672285)×R²
    abs(0.90696614-0.90687027)×2.12289134337018e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12289134337018e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12289134337018e-05×40589641000000     		ar = 19289.8610483822m²