Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42221 / 10226
↖ ↑ ↗
← N 76.858313°
E 51.926880°		 ← 138.88 m → N 76.858313°
E 51.932373°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
N 76.857064°
E 51.926880°		 ← 138.90 m →
19 290 m²		 N 76.857064°
E 51.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644248962402344 y=0.156044006347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644248962402344 × 216)
    floor (0.644248962402344 × 65536)
    floor (42221.5)     		tx = 42221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156044006347656 × 216)
    floor (0.156044006347656 × 65536)
    floor (10226.5)     		ty = 10226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42221 / 10226 ti = "16/42221/10226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42221/10226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42221 ÷ 216
    42221 ÷ 65536     		x = 0.644241333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10226 ÷ 216
    10226 ÷ 65536     		y = 0.156036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644241333007812 × 2 - 1) × π
    0.288482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90629502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156036376953125 × 2 - 1) × π
    0.68792724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16118718247061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90629502} λ = 0.90629502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16118718247061))-π/2
    2×atan(8.681437994071)-π/2
    2×1.4561134713245-π/2
    2.91222694264899-1.57079632675     		φ = 1.34143062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90629502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.926880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34143062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.858313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42221 KachelY 10226 0.90629502 1.34143062 51.926880 76.858313
    Oben rechts KachelX + 1 42222 KachelY 10226 0.90639090 1.34143062 51.932373 76.858313
    Unten links KachelX 42221 KachelY + 1 10227 0.90629502 1.34140882 51.926880 76.857064
    Unten rechts KachelX + 1 42222 KachelY + 1 10227 0.90639090 1.34140882 51.932373 76.857064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34143062-1.34140882) × R
    2.17999999998497e-05 × 6371000     		dl = 138.887799999043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34143062-1.34140882) × R
    2.17999999998497e-05 × 6371000     		dr = 138.887799999043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90629502-0.90639090) × cos(1.34143062) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227359887737357 × 6371000     		do = 138.883123917068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90629502-0.90639090) × cos(1.34140882) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227381116758851 × 6371000     		du = 138.896091696267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34143062)-sin(1.34140882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227359887737357-0.227381116758851)×R²
    abs(0.90639090-0.90629502)×2.1229021494068e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.1229021494068e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.1229021494068e-05×40589641000000     		ar = 19290.0720719506m²