Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42220 / 9899
↖ ↑ ↗
← N 77.260537°
E 51.921387°		 ← 134.69 m → N 77.260537°
E 51.926880°		 →
↑
134.68 m
↓
↑
134.68 m
↓
N 77.259326°
E 51.921387°		 ← 134.70 m →
18 141 m²		 N 77.259326°
E 51.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644233703613281 y=0.151054382324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644233703613281 × 216)
    floor (0.644233703613281 × 65536)
    floor (42220.5)     		tx = 42220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151054382324219 × 216)
    floor (0.151054382324219 × 65536)
    floor (9899.5)     		ty = 9899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42220 / 9899 ti = "16/42220/9899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42220/9899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42220 ÷ 216
    42220 ÷ 65536     		x = 0.64422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9899 ÷ 216
    9899 ÷ 65536     		y = 0.151046752929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64422607421875 × 2 - 1) × π
    0.2884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90619915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151046752929688 × 2 - 1) × π
    0.697906494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19253791482213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90619915} λ = 0.90619915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19253791482213))-π/2
    2×atan(8.95791872476633)-π/2
    2×1.45962353814372-π/2
    2.91924707628743-1.57079632675     		φ = 1.34845075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90619915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34845075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.260537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42220 KachelY 9899 0.90619915 1.34845075 51.921387 77.260537
    Oben rechts KachelX + 1 42221 KachelY 9899 0.90629502 1.34845075 51.926880 77.260537
    Unten links KachelX 42220 KachelY + 1 9900 0.90619915 1.34842961 51.921387 77.259326
    Unten rechts KachelX + 1 42221 KachelY + 1 9900 0.90629502 1.34842961 51.926880 77.259326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34845075-1.34842961) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dl = 134.682940000548m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34845075-1.34842961) × R
    2.11400000000861e-05 × 6371000     		dr = 134.682940000548m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90619915-0.90629502) × cos(1.34845075) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220518063073258 × 6371000     		do = 134.689735989232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90619915-0.90629502) × cos(1.34842961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220538682618295 × 6371000     		du = 134.702330155163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34845075)-sin(1.34842961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220518063073258-0.220538682618295)×R²
    abs(0.90629502-0.90619915)×2.06195450374314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.06195450374314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.06195450374314e-05×40589641000000     		ar = 18141.2577410034m²