Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4222 / 12438
↖ ↑ ↗
← N 39.724089°
W133.615723°		 ← 939.55 m → N 39.724089°
W133.604737°		 →
↑
939.66 m
↓
↑
939.66 m
↓
N 39.715638°
W133.615723°		 ← 939.67 m →
882 912 m²		 N 39.715638°
W133.604737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128860473632812 y=0.379592895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128860473632812 × 215)
    floor (0.128860473632812 × 32768)
    floor (4222.5)     		tx = 4222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379592895507812 × 215)
    floor (0.379592895507812 × 32768)
    floor (12438.5)     		ty = 12438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4222 / 12438 ti = "15/4222/12438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4222/12438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4222 ÷ 215
    4222 ÷ 32768     		x = 0.12884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12438 ÷ 215
    12438 ÷ 32768     		y = 0.37957763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37957763671875 × 2 - 1) × π
    0.2408447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756636023602966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33203429} λ = -2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756636023602966))-π/2
    2×atan(2.13109519493289)-π/2
    2×1.1320562324033-π/2
    2.26411246480661-1.57079632675     		φ = 0.69331614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69331614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.724089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4222 KachelY 12438 -2.33203429 0.69331614 -133.615723 39.724089
    Oben rechts KachelX + 1 4223 KachelY 12438 -2.33184255 0.69331614 -133.604737 39.724089
    Unten links KachelX 4222 KachelY + 1 12439 -2.33203429 0.69316865 -133.615723 39.715638
    Unten rechts KachelX + 1 4223 KachelY + 1 12439 -2.33184255 0.69316865 -133.604737 39.715638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69331614-0.69316865) × R
    0.000147489999999917 × 6371000     		dl = 939.65878999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69331614-0.69316865) × R
    0.000147489999999917 × 6371000     		dr = 939.65878999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33203429--2.33184255) × cos(0.69331614) × R
    0.000191739999999996 × 0.769130931845179 × 6371000     		do = 939.551533399458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33203429--2.33184255) × cos(0.69316865) × R
    0.000191739999999996 × 0.769225183045869 × 6371000     		du = 939.666668360835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69331614)-sin(0.69316865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769130931845179-0.769225183045869)×R²
    abs(-2.33184255--2.33203429)×9.42512006893992e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42512006893992e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42512006893992e-05×40589641000000     		ar = 882911.952406034m²