Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42218 / 10206
↖ ↑ ↗
← N 76.883268°
E 51.910400°		 ← 138.62 m → N 76.883268°
E 51.915894°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 76.882021°
E 51.910400°		 ← 138.64 m →
19 219 m²		 N 76.882021°
E 51.915894°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644203186035156 y=0.155738830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644203186035156 × 216)
    floor (0.644203186035156 × 65536)
    floor (42218.5)     		tx = 42218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155738830566406 × 216)
    floor (0.155738830566406 × 65536)
    floor (10206.5)     		ty = 10206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42218 / 10206 ti = "16/42218/10206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42218/10206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42218 ÷ 216
    42218 ÷ 65536     		x = 0.644195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10206 ÷ 216
    10206 ÷ 65536     		y = 0.155731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644195556640625 × 2 - 1) × π
    0.28839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90600740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155731201171875 × 2 - 1) × π
    0.68853759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16310465845541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90600740} λ = 0.90600740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16310465845541))-π/2
    2×atan(8.69810041272675)-π/2
    2×1.45633124649921-π/2
    2.91266249299842-1.57079632675     		φ = 1.34186617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90600740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34186617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.883268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42218 KachelY 10206 0.90600740 1.34186617 51.910400 76.883268
    Oben rechts KachelX + 1 42219 KachelY 10206 0.90610328 1.34186617 51.915894 76.883268
    Unten links KachelX 42218 KachelY + 1 10207 0.90600740 1.34184441 51.910400 76.882021
    Unten rechts KachelX + 1 42219 KachelY + 1 10207 0.90610328 1.34184441 51.915894 76.882021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34186617-1.34184441) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34186617-1.34184441) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90600740-0.90610328) × cos(1.34186617) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226935722889688 × 6371000     		do = 138.624022191945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90600740-0.90610328) × cos(1.34184441) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.226956915111858 × 6371000     		du = 138.636967492222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34186617)-sin(1.34184441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226935722889688-0.226956915111858)×R²
    abs(0.90610328-0.90600740)×2.11922221694805e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.11922221694805e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.11922221694805e-05×40589641000000     		ar = 19218.7558468922m²