Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42216 / 10088
↖ ↑ ↗
← N 77.029559°
E 51.899414°		 ← 137.09 m → N 77.029559°
E 51.904907°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
N 77.028326°
E 51.899414°		 ← 137.10 m →
18 796 m²		 N 77.028326°
E 51.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644172668457031 y=0.153938293457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644172668457031 × 216)
    floor (0.644172668457031 × 65536)
    floor (42216.5)     		tx = 42216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153938293457031 × 216)
    floor (0.153938293457031 × 65536)
    floor (10088.5)     		ty = 10088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42216 / 10088 ti = "16/42216/10088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42216/10088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42216 ÷ 216
    42216 ÷ 65536     		x = 0.6441650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10088 ÷ 216
    10088 ÷ 65536     		y = 0.1539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6441650390625 × 2 - 1) × π
    0.288330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90581566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1539306640625 × 2 - 1) × π
    0.692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17441776676575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90581566} λ = 0.90581566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17441776676575))-π/2
    2×atan(8.79706168913665)-π/2
    2×1.4576078735092-π/2
    2.91521574701839-1.57079632675     		φ = 1.34441942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90581566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34441942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.029559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42216 KachelY 10088 0.90581566 1.34441942 51.899414 77.029559
    Oben rechts KachelX + 1 42217 KachelY 10088 0.90591153 1.34441942 51.904907 77.029559
    Unten links KachelX 42216 KachelY + 1 10089 0.90581566 1.34439790 51.899414 77.028326
    Unten rechts KachelX + 1 42217 KachelY + 1 10089 0.90591153 1.34439790 51.904907 77.028326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34441942-1.34439790) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34441942-1.34439790) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90581566-0.90591153) × cos(1.34441942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224448350846732 × 6371000     		do = 137.09030769385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90581566-0.90591153) × cos(1.34439790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224469321733187 × 6371000     		du = 137.103116454823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34441942)-sin(1.34439790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224448350846732-0.224469321733187)×R²
    abs(0.90591153-0.90581566)×2.09708864547797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09708864547797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09708864547797e-05×40589641000000     		ar = 18796.4966450625m²