Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42211 / 10234
↖ ↑ ↗
← N 76.848318°
E 51.871948°		 ← 138.97 m → N 76.848318°
E 51.877441°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
N 76.847068°
E 51.871948°		 ← 138.99 m →
19 320 m²		 N 76.847068°
E 51.877441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644096374511719 y=0.156166076660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644096374511719 × 216)
    floor (0.644096374511719 × 65536)
    floor (42211.5)     		tx = 42211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156166076660156 × 216)
    floor (0.156166076660156 × 65536)
    floor (10234.5)     		ty = 10234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42211 / 10234 ti = "16/42211/10234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42211/10234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42211 ÷ 216
    42211 ÷ 65536     		x = 0.644088745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10234 ÷ 216
    10234 ÷ 65536     		y = 0.156158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644088745117188 × 2 - 1) × π
    0.288177490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90533629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156158447265625 × 2 - 1) × π
    0.68768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16042019207669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90533629} λ = 0.90533629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16042019207669))-π/2
    2×atan(8.67478196740469)-π/2
    2×1.45602624732856-π/2
    2.91205249465712-1.57079632675     		φ = 1.34125617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90533629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.871948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34125617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.848318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42211 KachelY 10234 0.90533629 1.34125617 51.871948 76.848318
    Oben rechts KachelX + 1 42212 KachelY 10234 0.90543216 1.34125617 51.877441 76.848318
    Unten links KachelX 42211 KachelY + 1 10235 0.90533629 1.34123435 51.871948 76.847068
    Unten rechts KachelX + 1 42212 KachelY + 1 10235 0.90543216 1.34123435 51.877441 76.847068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34125617-1.34123435) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dl = 139.015220001097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34125617-1.34123435) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dr = 139.015220001097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90533629-0.90543216) × cos(1.34125617) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227529765571606 × 6371000     		do = 138.972398122101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90533629-0.90543216) × cos(1.34123435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227551013203408 × 6371000     		du = 138.985375915747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34125617)-sin(1.34123435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227529765571606-0.227551013203408)×R²
    abs(0.90543216-0.90533629)×2.12476318023624e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12476318023624e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12476318023624e-05×40589641000000     		ar = 19320.1805551147m²