Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4221 / 12431
↖ ↑ ↗
← N 39.783213°
W133.626709°		 ← 938.79 m → N 39.783213°
W133.615723°		 →
↑
938.83 m
↓
↑
938.83 m
↓
N 39.774770°
W133.626709°		 ← 938.91 m →
881 423 m²		 N 39.774770°
W133.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128829956054688 y=0.379379272460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128829956054688 × 215)
    floor (0.128829956054688 × 32768)
    floor (4221.5)     		tx = 4221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379379272460938 × 215)
    floor (0.379379272460938 × 32768)
    floor (12431.5)     		ty = 12431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4221 / 12431 ti = "15/4221/12431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4221/12431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4221 ÷ 215
    4221 ÷ 32768     		x = 0.128814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12431 ÷ 215
    12431 ÷ 32768     		y = 0.379364013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.74237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33222604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379364013671875 × 2 - 1) × π
    0.24127197265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.757978256792328
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33222604} λ = -2.33222604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757978256792328))-π/2
    2×atan(2.13395754217222)-π/2
    2×1.13257218751714-π/2
    2.26514437503429-1.57079632675     		φ = 0.69434805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33222604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69434805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.783213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4221 KachelY 12431 -2.33222604 0.69434805 -133.626709 39.783213
    Oben rechts KachelX + 1 4222 KachelY 12431 -2.33203429 0.69434805 -133.615723 39.783213
    Unten links KachelX 4221 KachelY + 1 12432 -2.33222604 0.69420069 -133.626709 39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 4222 KachelY + 1 12432 -2.33203429 0.69420069 -133.615723 39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69434805-0.69420069) × R
    0.000147360000000041 × 6371000     		dl = 938.83056000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69434805-0.69420069) × R
    0.000147360000000041 × 6371000     		dr = 938.83056000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33222604--2.33203429) × cos(0.69434805) × R
    0.000191749999999935 × 0.768471037823488 × 6371000     		do = 938.79438229309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33222604--2.33203429) × cos(0.69420069) × R
    0.000191749999999935 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 938.909564606409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69434805)-sin(0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768471037823488-0.768565322869847)×R²
    abs(-2.33203429--2.33222604)×9.42850463583333e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42850463583333e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42850463583333e-05×40589641000000     		ar = 881422.925586526m²