Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4221 / 12413
↖ ↑ ↗
← N 39.935013°
W133.626709°		 ← 936.72 m → N 39.935013°
W133.615723°		 →
↑
936.73 m
↓
↑
936.73 m
↓
N 39.926589°
W133.626709°		 ← 936.84 m →
877 506 m²		 N 39.926589°
W133.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128829956054688 y=0.378829956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128829956054688 × 215)
    floor (0.128829956054688 × 32768)
    floor (4221.5)     		tx = 4221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378829956054688 × 215)
    floor (0.378829956054688 × 32768)
    floor (12413.5)     		ty = 12413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4221 / 12413 ti = "15/4221/12413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4221/12413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4221 ÷ 215
    4221 ÷ 32768     		x = 0.128814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12413 ÷ 215
    12413 ÷ 32768     		y = 0.378814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.74237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33222604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378814697265625 × 2 - 1) × π
    0.24237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.761429713564972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33222604} λ = -2.33222604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761429713564972))-π/2
    2×atan(2.14133552946156)-π/2
    2×1.13389689488175-π/2
    2.26779378976349-1.57079632675     		φ = 0.69699746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33222604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.626709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69699746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.935013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4221 KachelY 12413 -2.33222604 0.69699746 -133.626709 39.935013
    Oben rechts KachelX + 1 4222 KachelY 12413 -2.33203429 0.69699746 -133.615723 39.935013
    Unten links KachelX 4221 KachelY + 1 12414 -2.33222604 0.69685043 -133.626709 39.926589
    Unten rechts KachelX + 1 4222 KachelY + 1 12414 -2.33203429 0.69685043 -133.615723 39.926589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69699746-0.69685043) × R
    0.000147029999999937 × 6371000     		dl = 936.728129999598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69699746-0.69685043) × R
    0.000147029999999937 × 6371000     		dr = 936.728129999598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33222604--2.33203429) × cos(0.69699746) × R
    0.000191749999999935 × 0.766773026134962 × 6371000     		do = 936.720024567428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33222604--2.33203429) × cos(0.69685043) × R
    0.000191749999999935 × 0.766867399096869 × 6371000     		du = 936.835314281832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69699746)-sin(0.69685043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766773026134962-0.766867399096869)×R²
    abs(-2.33203429--2.33222604)×9.43729619067302e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43729619067302e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43729619067302e-05×40589641000000     		ar = 877505.996086488m²