Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42200 / 10217
↖ ↑ ↗
← N 76.869548°
E 51.811523°		 ← 138.77 m → N 76.869548°
E 51.817017°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
N 76.868300°
E 51.811523°		 ← 138.78 m →
19 256 m²		 N 76.868300°
E 51.817017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643928527832031 y=0.155906677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643928527832031 × 216)
    floor (0.643928527832031 × 65536)
    floor (42200.5)     		tx = 42200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155906677246094 × 216)
    floor (0.155906677246094 × 65536)
    floor (10217.5)     		ty = 10217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42200 / 10217 ti = "16/42200/10217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42200/10217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42200 ÷ 216
    42200 ÷ 65536     		x = 0.6439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10217 ÷ 216
    10217 ÷ 65536     		y = 0.155899047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6439208984375 × 2 - 1) × π
    0.287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90428167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155899047851562 × 2 - 1) × π
    0.688201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16205004666377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90428167} λ = 0.90428167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16205004666377))-π/2
    2×atan(8.68893212880653)-π/2
    2×1.45621152047918-π/2
    2.91242304095835-1.57079632675     		φ = 1.34162671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90428167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.811523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34162671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.869548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42200 KachelY 10217 0.90428167 1.34162671 51.811523 76.869548
    Oben rechts KachelX + 1 42201 KachelY 10217 0.90437755 1.34162671 51.817017 76.869548
    Unten links KachelX 42200 KachelY + 1 10218 0.90428167 1.34160493 51.811523 76.868300
    Unten rechts KachelX + 1 42201 KachelY + 1 10218 0.90437755 1.34160493 51.817017 76.868300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34162671-1.34160493) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dl = 138.760379999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34162671-1.34160493) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dr = 138.760379999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90428167-0.90437755) × cos(1.34162671) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227168928806939 × 6371000     		do = 138.766476371642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90428167-0.90437755) × cos(1.34160493) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227190139322971 × 6371000     		du = 138.779432846752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34162671)-sin(1.34160493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227168928806939-0.227190139322971)×R²
    abs(0.90437755-0.90428167)×2.12105160324882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.12105160324882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.12105160324882e-05×40589641000000     		ar = 19256.1879162857m²