Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4220 / 2686
↖ ↑ ↗
← N 76.195485°
W 87.275390°		 ← 582.98 m → N 76.195485°
W 87.253418°		 →
↑
583.07 m
↓
↑
583.07 m
↓
N 76.190241°
W 87.275390°		 ← 583.19 m →
339 981 m²		 N 76.190241°
W 87.253418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257598876953125 y=0.163970947265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257598876953125 × 214)
    floor (0.257598876953125 × 16384)
    floor (4220.5)     		tx = 4220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163970947265625 × 214)
    floor (0.163970947265625 × 16384)
    floor (2686.5)     		ty = 2686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4220 / 2686 ti = "14/4220/2686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4220/2686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4220 ÷ 214
    4220 ÷ 16384     		x = 0.257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2686 ÷ 214
    2686 ÷ 16384     		y = 0.1639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.257568359375 × 2 - 1) × π
    -0.48486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.52324292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1639404296875 × 2 - 1) × π
    0.672119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11152455446423
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52324292} λ = -1.52324292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11152455446423))-π/2
    2×atan(8.26082576812699)-π/2
    2×1.45032920896355-π/2
    2.90065841792711-1.57079632675     		φ = 1.32986209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52324292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.275390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32986209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.195485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4220 KachelY 2686 -1.52324292 1.32986209 -87.275390 76.195485
    Oben rechts KachelX + 1 4221 KachelY 2686 -1.52285943 1.32986209 -87.253418 76.195485
    Unten links KachelX 4220 KachelY + 1 2687 -1.52324292 1.32977057 -87.275390 76.190241
    Unten rechts KachelX + 1 4221 KachelY + 1 2687 -1.52285943 1.32977057 -87.253418 76.190241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32986209-1.32977057) × R
    9.15200000000116e-05 × 6371000     		dl = 583.073920000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32986209-1.32977057) × R
    9.15200000000116e-05 × 6371000     		dr = 583.073920000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52324292--1.52285943) × cos(1.32986209) × R
    0.000383489999999931 × 0.23860998223829 × 6371000     		do = 582.975437646121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52324292--1.52285943) × cos(1.32977057) × R
    0.000383489999999931 × 0.238698857727649 × 6371000     		du = 583.192579556192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32986209)-sin(1.32977057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23860998223829-0.238698857727649)×R²
    abs(-1.52285943--1.52324292)×8.88754893591248e-05×R²
    0.000383489999999931×8.88754893591248e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.88754893591248e-05×40589641000000     		ar = 339981.078822865m²