Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 422 / 488
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
W142.910156°		 ← 1 770.83 m → N 79.560546°
W142.822266°		 →
↑
1 772.16 m
↓
↑
1 772.16 m
↓
N 79.544609°
W142.910156°		 ← 1 773.50 m →
3 140 558 m²		 N 79.544609°
W142.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1031494140625 y=0.1192626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1031494140625 × 212)
    floor (0.1031494140625 × 4096)
    floor (422.5)     		tx = 422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1192626953125 × 212)
    floor (0.1192626953125 × 4096)
    floor (488.5)     		ty = 488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 422 / 488 ti = "12/422/488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/422/488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 422 ÷ 212
    422 ÷ 4096     		x = 0.10302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 488 ÷ 212
    488 ÷ 4096     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10302734375 × 2 - 1) × π
    -0.7939453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49425276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49425276} λ = -2.49425276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49425276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 422 KachelY 488 -2.49425276 1.38859349 -142.910156 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 423 KachelY 488 -2.49271878 1.38859349 -142.822266 79.560546
    Unten links KachelX 422 KachelY + 1 489 -2.49425276 1.38831533 -142.910156 79.544609
    Unten rechts KachelX + 1 423 KachelY + 1 489 -2.49271878 1.38831533 -142.822266 79.544609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38831533) × R
    0.000278160000000138 × 6371000     		dl = 1772.15736000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38831533) × R
    0.000278160000000138 × 6371000     		dr = 1772.15736000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49425276--2.49271878) × cos(1.38859349) × R
    0.00153398000000005 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 1770.82983299333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49425276--2.49271878) × cos(1.38831533) × R
    0.00153398000000005 × 0.18146993297608 × 6371000     		du = 1773.50321964879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38831533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.18146993297608)×R²
    abs(-2.49271878--2.49425276)×0.000273548585539518×R²
    0.00153398000000005×0.000273548585539518×6371000²
    0.00153398000000005×0.000273548585539518×40589641000000     		ar = 3140557.97301422m²