Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 422 / 185
↖ ↑ ↗
← N 44.590467°
E116.718750°		 ← 55.678 km → N 44.590467°
E117.421875°		 →
↑
55.918 km
↓
↑
55.918 km
↓
N 44.087585°
E116.718750°		 ← 56.158 km →
3 126.83 km²		 N 44.087585°
E117.421875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8251953125 y=0.3623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8251953125 × 29)
    floor (0.8251953125 × 512)
    floor (422.5)     		tx = 422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3623046875 × 29)
    floor (0.3623046875 × 512)
    floor (185.5)     		ty = 185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 422 / 185 ti = "9/422/185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/422/185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 422 ÷ 29
    422 ÷ 512     		x = 0.82421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 185 ÷ 29
    185 ÷ 512     		y = 0.361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82421875 × 2 - 1) × π
    0.6484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.03712649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.361328125 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.03712649} λ = 2.03712649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.871301087494141))-π/2
    2×atan(2.39001845457747)-π/2
    2×1.17452339704674-π/2
    2.34904679409348-1.57079632675     		φ = 0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.03712649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 116.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 422 KachelY 185 2.03712649 0.77825047 116.718750 44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 423 KachelY 185 2.04939833 0.77825047 117.421875 44.590467
    Unten links KachelX 422 KachelY + 1 186 2.03712649 0.76947352 116.718750 44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 423 KachelY + 1 186 2.04939833 0.76947352 117.421875 44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77825047-0.76947352) × R
    0.00877695000000001 × 6371000     		dl = 55917.94845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77825047-0.76947352) × R
    0.00877695000000001 × 6371000     		dr = 55917.94845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.03712649-2.04939833) × cos(0.77825047) × R
    0.0122718399999999 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 55678.1007405664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.03712649-2.04939833) × cos(0.76947352) × R
    0.0122718399999999 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 56157.6974344518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77825047)-sin(0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.71827707137878)×R²
    abs(2.04939833-2.03712649)×0.0061342135533422×R²
    0.0122718399999999×0.0061342135533422×6371000²
    0.0122718399999999×0.0061342135533422×40589641000000     		ar = 3126834271.56786m²