Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 422 / 101
↖ ↑ ↗
← N 80.816891°
W 31.640625°		 ← 6 238.69 m → N 80.816891°
W 31.289062°		 →
↑
6 257.66 m
↓
↑
6 257.66 m
↓
N 80.760615°
W 31.640625°		 ← 6 276.59 m →
39 158 192 m²		 N 80.760615°
W 31.289062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41259765625 y=0.09912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41259765625 × 210)
    floor (0.41259765625 × 1024)
    floor (422.5)     		tx = 422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09912109375 × 210)
    floor (0.09912109375 × 1024)
    floor (101.5)     		ty = 101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 422 / 101 ti = "10/422/101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/422/101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 422 ÷ 210
    422 ÷ 1024     		x = 0.412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101 ÷ 210
    101 ÷ 1024     		y = 0.0986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.412109375 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0986328125 × 2 - 1) × π
    0.802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52186441521191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.55223308} λ = -0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52186441521191))-π/2
    2×atan(12.4517903428656)-π/2
    2×1.49065858198811-π/2
    2.98131716397622-1.57079632675     		φ = 1.41052084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41052084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.816891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 422 KachelY 101 -0.55223308 1.41052084 -31.640625 80.816891
    Oben rechts KachelX + 1 423 KachelY 101 -0.54609716 1.41052084 -31.289062 80.816891
    Unten links KachelX 422 KachelY + 1 102 -0.55223308 1.40953863 -31.640625 80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 423 KachelY + 1 102 -0.54609716 1.40953863 -31.289062 80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41052084-1.40953863) × R
    0.000982210000000094 × 6371000     		dl = 6257.6599100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41052084-1.40953863) × R
    0.000982210000000094 × 6371000     		dr = 6257.6599100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.55223308--0.54609716) × cos(1.41052084) × R
    0.00613592000000007 × 0.159590168645371 × 6371000     		do = 6238.69030588468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.55223308--0.54609716) × cos(1.40953863) × R
    0.00613592000000007 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 6276.59167675455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41052084)-sin(1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159590168645371-0.160559712872195)×R²
    abs(-0.54609716--0.55223308)×0.000969544226823993×R²
    0.00613592000000007×0.000969544226823993×6371000²
    0.00613592000000007×0.000969544226823993×40589641000000     		ar = 39158192.3106718m²