Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42196 / 10220
↖ ↑ ↗
← N 76.865804°
E 51.789551°		 ← 138.79 m → N 76.865804°
E 51.795044°		 →
↑
138.82 m
↓
↑
138.82 m
↓
N 76.864556°
E 51.789551°		 ← 138.80 m →
19 268 m²		 N 76.864556°
E 51.795044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643867492675781 y=0.155952453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643867492675781 × 216)
    floor (0.643867492675781 × 65536)
    floor (42196.5)     		tx = 42196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155952453613281 × 216)
    floor (0.155952453613281 × 65536)
    floor (10220.5)     		ty = 10220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42196 / 10220 ti = "16/42196/10220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42196/10220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42196 ÷ 216
    42196 ÷ 65536     		x = 0.64385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10220 ÷ 216
    10220 ÷ 65536     		y = 0.15594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64385986328125 × 2 - 1) × π
    0.2877197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90389818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15594482421875 × 2 - 1) × π
    0.6881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16176242526605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90389818} λ = 0.90389818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16176242526605))-π/2
    2×atan(8.68643336536908)-π/2
    2×1.45617884658158-π/2
    2.91235769316316-1.57079632675     		φ = 1.34156137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90389818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34156137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.865804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42196 KachelY 10220 0.90389818 1.34156137 51.789551 76.865804
    Oben rechts KachelX + 1 42197 KachelY 10220 0.90399405 1.34156137 51.795044 76.865804
    Unten links KachelX 42196 KachelY + 1 10221 0.90389818 1.34153958 51.789551 76.864556
    Unten rechts KachelX + 1 42197 KachelY + 1 10221 0.90399405 1.34153958 51.795044 76.864556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34156137-1.34153958) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000     		dl = 138.82408999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34156137-1.34153958) × R
    2.17899999999105e-05 × 6371000     		dr = 138.82408999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90389818-0.90399405) × cos(1.34156137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22723256003171 × 6371000     		do = 138.790868613157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90389818-0.90399405) × cos(1.34153958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227253779962753 × 6371000     		du = 138.803829487518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34156137)-sin(1.34153958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22723256003171-0.227253779962753)×R²
    abs(0.90399405-0.90389818)×2.12199310425099e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12199310425099e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12199310425099e-05×40589641000000     		ar = 19268.4156770314m²