Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4219 / 12437
↖ ↑ ↗
← N 39.732538°
W133.648682°		 ← 939.49 m → N 39.732538°
W133.637695°		 →
↑
939.53 m
↓
↑
939.53 m
↓
N 39.724089°
W133.648682°		 ← 939.60 m →
882 730 m²		 N 39.724089°
W133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128768920898438 y=0.379562377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128768920898438 × 215)
    floor (0.128768920898438 × 32768)
    floor (4219.5)     		tx = 4219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379562377929688 × 215)
    floor (0.379562377929688 × 32768)
    floor (12437.5)     		ty = 12437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4219 / 12437 ti = "15/4219/12437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4219/12437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4219 ÷ 215
    4219 ÷ 32768     		x = 0.128753662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12437 ÷ 215
    12437 ÷ 32768     		y = 0.379547119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128753662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74249267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33260954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379547119140625 × 2 - 1) × π
    0.24090576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.756827771201447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33260954} λ = -2.33260954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756827771201447))-π/2
    2×atan(2.13150386649829)-π/2
    2×1.13212996738972-π/2
    2.26425993477943-1.57079632675     		φ = 0.69346361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33260954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.648682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69346361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.732538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4219 KachelY 12437 -2.33260954 0.69346361 -133.648682 39.732538
    Oben rechts KachelX + 1 4220 KachelY 12437 -2.33241779 0.69346361 -133.637695 39.732538
    Unten links KachelX 4219 KachelY + 1 12438 -2.33260954 0.69331614 -133.648682 39.724089
    Unten rechts KachelX + 1 4220 KachelY + 1 12438 -2.33241779 0.69331614 -133.637695 39.724089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69346361-0.69331614) × R
    0.000147470000000038 × 6371000     		dl = 939.531370000245m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69346361-0.69331614) × R
    0.000147470000000038 × 6371000     		dr = 939.531370000245m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33260954--2.33241779) × cos(0.69346361) × R
    0.000191749999999935 × 0.769036676697447 × 6371000     		do = 939.485388942843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33260954--2.33241779) × cos(0.69331614) × R
    0.000191749999999935 × 0.769130931845179 × 6371000     		du = 939.600534730828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69346361)-sin(0.69331614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769036676697447-0.769130931845179)×R²
    abs(-2.33241779--2.33260954)×9.42551477322029e-05×R²
    0.000191749999999935×9.42551477322029e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.42551477322029e-05×40589641000000     		ar = 882730.087708578m²