Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42188 / 10173
↖ ↑ ↗
← N 76.924342°
E 51.745606°		 ← 138.18 m → N 76.924342°
E 51.751098°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
N 76.923100°
E 51.745606°		 ← 138.20 m →
19 096 m²		 N 76.923100°
E 51.751098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643745422363281 y=0.155235290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643745422363281 × 216)
    floor (0.643745422363281 × 65536)
    floor (42188.5)     		tx = 42188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155235290527344 × 216)
    floor (0.155235290527344 × 65536)
    floor (10173.5)     		ty = 10173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42188 / 10173 ti = "16/42188/10173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42188/10173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42188 ÷ 216
    42188 ÷ 65536     		x = 0.64373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10173 ÷ 216
    10173 ÷ 65536     		y = 0.155227661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64373779296875 × 2 - 1) × π
    0.2874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90313119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155227661132812 × 2 - 1) × π
    0.689544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16626849383034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90313119} λ = 0.90313119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16626849383034))-π/2
    2×atan(8.72566334981312)-π/2
    2×1.45668968759415-π/2
    2.9133793751883-1.57079632675     		φ = 1.34258305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90313119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.745606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34258305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.924342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42188 KachelY 10173 0.90313119 1.34258305 51.745606 76.924342
    Oben rechts KachelX + 1 42189 KachelY 10173 0.90322706 1.34258305 51.751098 76.924342
    Unten links KachelX 42188 KachelY + 1 10174 0.90313119 1.34256136 51.745606 76.923100
    Unten rechts KachelX + 1 42189 KachelY + 1 10174 0.90322706 1.34256136 51.751098 76.923100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34258305-1.34256136) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dl = 138.186990000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34258305-1.34256136) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dr = 138.186990000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90313119-0.90322706) × cos(1.34258305) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226237488223494 × 6371000     		do = 138.183090922426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90313119-0.90322706) × cos(1.34256136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226258615795715 × 6371000     		du = 138.195995385148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34258305)-sin(1.34256136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226237488223494-0.226258615795715)×R²
    abs(0.90322706-0.90313119)×2.112757222128e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.112757222128e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.112757222128e-05×40589641000000     		ar = 19095.997019039m²