Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42188 / 10171
↖ ↑ ↗
← N 76.926827°
E 51.745606°		 ← 138.16 m → N 76.926827°
E 51.751098°		 →
↑
138.12 m
↓
↑
138.12 m
↓
N 76.925585°
E 51.745606°		 ← 138.17 m →
19 084 m²		 N 76.925585°
E 51.751098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643745422363281 y=0.155204772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643745422363281 × 216)
    floor (0.643745422363281 × 65536)
    floor (42188.5)     		tx = 42188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155204772949219 × 216)
    floor (0.155204772949219 × 65536)
    floor (10171.5)     		ty = 10171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42188 / 10171 ti = "16/42188/10171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42188/10171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42188 ÷ 216
    42188 ÷ 65536     		x = 0.64373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10171 ÷ 216
    10171 ÷ 65536     		y = 0.155197143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64373779296875 × 2 - 1) × π
    0.2874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90313119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155197143554688 × 2 - 1) × π
    0.689605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16646024142882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90313119} λ = 0.90313119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16646024142882))-π/2
    2×atan(8.7273366352247)-π/2
    2×1.45671137581634-π/2
    2.91342275163267-1.57079632675     		φ = 1.34262642
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90313119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.745606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34262642 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.926827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42188 KachelY 10171 0.90313119 1.34262642 51.745606 76.926827
    Oben rechts KachelX + 1 42189 KachelY 10171 0.90322706 1.34262642 51.751098 76.926827
    Unten links KachelX 42188 KachelY + 1 10172 0.90313119 1.34260474 51.745606 76.925585
    Unten rechts KachelX + 1 42189 KachelY + 1 10172 0.90322706 1.34260474 51.751098 76.925585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34262642-1.34260474) × R
    2.16799999999129e-05 × 6371000     		dl = 138.123279999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34262642-1.34260474) × R
    2.16799999999129e-05 × 6371000     		dr = 138.123279999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90313119-0.90322706) × cos(1.34262642) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226195242500577 × 6371000     		do = 138.157287751533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90313119-0.90322706) × cos(1.34260474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226216360544837 × 6371000     		du = 138.170186394694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34262642)-sin(1.34260474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226195242500577-0.226216360544837)×R²
    abs(0.90322706-0.90313119)×2.11180442609149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11180442609149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11180442609149e-05×40589641000000     		ar = 19083.6285424389m²