Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42187 / 10213
↖ ↑ ↗
← N 76.874539°
E 51.740113°		 ← 138.70 m → N 76.874539°
E 51.745606°		 →
↑
138.76 m
↓
↑
138.76 m
↓
N 76.873291°
E 51.740113°		 ← 138.71 m →
19 247 m²		 N 76.873291°
E 51.745606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643730163574219 y=0.155845642089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643730163574219 × 216)
    floor (0.643730163574219 × 65536)
    floor (42187.5)     		tx = 42187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155845642089844 × 216)
    floor (0.155845642089844 × 65536)
    floor (10213.5)     		ty = 10213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42187 / 10213 ti = "16/42187/10213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42187/10213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42187 ÷ 216
    42187 ÷ 65536     		x = 0.643722534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10213 ÷ 216
    10213 ÷ 65536     		y = 0.155838012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643722534179688 × 2 - 1) × π
    0.287445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90303532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155838012695312 × 2 - 1) × π
    0.688323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16243354186073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90303532} λ = 0.90303532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16243354186073))-π/2
    2×atan(8.69226493156072)-π/2
    2×1.45625507144192-π/2
    2.91251014288384-1.57079632675     		φ = 1.34171382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90303532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.740113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34171382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.874539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42187 KachelY 10213 0.90303532 1.34171382 51.740113 76.874539
    Oben rechts KachelX + 1 42188 KachelY 10213 0.90313119 1.34171382 51.745606 76.874539
    Unten links KachelX 42187 KachelY + 1 10214 0.90303532 1.34169204 51.740113 76.873291
    Unten rechts KachelX + 1 42188 KachelY + 1 10214 0.90313119 1.34169204 51.745606 76.873291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34171382-1.34169204) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dl = 138.760379999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34171382-1.34169204) × R
    2.17799999999713e-05 × 6371000     		dr = 138.760379999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90303532-0.90313119) × cos(1.34171382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227084095404043 × 6371000     		do = 138.7001882343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90303532-0.90313119) × cos(1.34169204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227105306351013 × 6371000     		du = 138.713143621299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34171382)-sin(1.34169204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227084095404043-0.227105306351013)×R²
    abs(0.90313119-0.90303532)×2.12109469696908e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12109469696908e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12109469696908e-05×40589641000000     		ar = 19246.9896733297m²