Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42183 / 10181
↖ ↑ ↗
← N 76.914396°
E 51.718140°		 ← 138.29 m → N 76.914396°
E 51.723633°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
N 76.913153°
E 51.718140°		 ← 138.30 m →
19 128 m²		 N 76.913153°
E 51.723633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643669128417969 y=0.155357360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643669128417969 × 216)
    floor (0.643669128417969 × 65536)
    floor (42183.5)     		tx = 42183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155357360839844 × 216)
    floor (0.155357360839844 × 65536)
    floor (10181.5)     		ty = 10181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42183 / 10181 ti = "16/42183/10181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42183/10181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42183 ÷ 216
    42183 ÷ 65536     		x = 0.643661499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10181 ÷ 216
    10181 ÷ 65536     		y = 0.155349731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643661499023438 × 2 - 1) × π
    0.287322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.90265182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155349731445312 × 2 - 1) × π
    0.689300537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16550150343642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90265182} λ = 0.90265182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16550150343642))-π/2
    2×atan(8.71897341572878)-π/2
    2×1.45660289418607-π/2
    2.91320578837213-1.57079632675     		φ = 1.34240946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90265182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.718140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34240946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.914396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42183 KachelY 10181 0.90265182 1.34240946 51.718140 76.914396
    Oben rechts KachelX + 1 42184 KachelY 10181 0.90274769 1.34240946 51.723633 76.914396
    Unten links KachelX 42183 KachelY + 1 10182 0.90265182 1.34238775 51.718140 76.913153
    Unten rechts KachelX + 1 42184 KachelY + 1 10182 0.90274769 1.34238775 51.723633 76.913153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34240946-1.34238775) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34240946-1.34238775) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90265182-0.90274769) × cos(1.34240946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226406574002556 × 6371000     		do = 138.286366448358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90265182-0.90274769) × cos(1.34238775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226427720203157 × 6371000     		du = 138.299282289067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34240946)-sin(1.34238775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226406574002556-0.226427720203157)×R²
    abs(0.90274769-0.90265182)×2.11462006005636e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11462006005636e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11462006005636e-05×40589641000000     		ar = 19127.8904105731m²