Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42180 / 10188
↖ ↑ ↗
← N 76.905688°
E 51.701660°		 ← 138.38 m → N 76.905688°
E 51.707153°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
N 76.904444°
E 51.701660°		 ← 138.39 m →
19 149 m²		 N 76.904444°
E 51.707153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643623352050781 y=0.155464172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643623352050781 × 216)
    floor (0.643623352050781 × 65536)
    floor (42180.5)     		tx = 42180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155464172363281 × 216)
    floor (0.155464172363281 × 65536)
    floor (10188.5)     		ty = 10188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42180 / 10188 ti = "16/42180/10188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42180/10188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42180 ÷ 216
    42180 ÷ 65536     		x = 0.64361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10188 ÷ 216
    10188 ÷ 65536     		y = 0.15545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64361572265625 × 2 - 1) × π
    0.2872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90236420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15545654296875 × 2 - 1) × π
    0.6890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16483038684174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90236420} λ = 0.90236420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16483038684174))-π/2
    2×atan(8.71312393104357)-π/2
    2×1.45652689674573-π/2
    2.91305379349146-1.57079632675     		φ = 1.34225747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90236420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34225747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.905688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42180 KachelY 10188 0.90236420 1.34225747 51.701660 76.905688
    Oben rechts KachelX + 1 42181 KachelY 10188 0.90246007 1.34225747 51.707153 76.905688
    Unten links KachelX 42180 KachelY + 1 10189 0.90236420 1.34223575 51.701660 76.904444
    Unten rechts KachelX + 1 42181 KachelY + 1 10189 0.90246007 1.34223575 51.707153 76.904444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34225747-1.34223575) × R
    2.17200000001139e-05 × 6371000     		dl = 138.378120000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34225747-1.34223575) × R
    2.17200000001139e-05 × 6371000     		dr = 138.378120000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90236420-0.90246007) × cos(1.34225747) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226554614645243 × 6371000     		do = 138.376787862375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90236420-0.90246007) × cos(1.34223575) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226575769838426 × 6371000     		du = 138.389709195642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34225747)-sin(1.34223575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226554614645243-0.226575769838426)×R²
    abs(0.90246007-0.90236420)×2.11551931826037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11551931826037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11551931826037e-05×40589641000000     		ar = 19149.2137717834m²