Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42180 / 10183
↖ ↑ ↗
← N 76.911909°
E 51.701660°		 ← 138.31 m → N 76.911909°
E 51.707153°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
N 76.910665°
E 51.701660°		 ← 138.33 m →
19 131 m²		 N 76.910665°
E 51.707153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643623352050781 y=0.155387878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643623352050781 × 216)
    floor (0.643623352050781 × 65536)
    floor (42180.5)     		tx = 42180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155387878417969 × 216)
    floor (0.155387878417969 × 65536)
    floor (10183.5)     		ty = 10183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42180 / 10183 ti = "16/42180/10183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42180/10183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42180 ÷ 216
    42180 ÷ 65536     		x = 0.64361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10183 ÷ 216
    10183 ÷ 65536     		y = 0.155380249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64361572265625 × 2 - 1) × π
    0.2872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90236420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155380249023438 × 2 - 1) × π
    0.689239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16530975583794
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90236420} λ = 0.90236420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16530975583794))-π/2
    2×atan(8.71730173379072)-π/2
    2×1.45658118570063-π/2
    2.91316237140126-1.57079632675     		φ = 1.34236604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90236420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34236604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.911909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42180 KachelY 10183 0.90236420 1.34236604 51.701660 76.911909
    Oben rechts KachelX + 1 42181 KachelY 10183 0.90246007 1.34236604 51.707153 76.911909
    Unten links KachelX 42180 KachelY + 1 10184 0.90236420 1.34234433 51.701660 76.910665
    Unten rechts KachelX + 1 42181 KachelY + 1 10184 0.90246007 1.34234433 51.707153 76.910665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34236604-1.34234433) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34236604-1.34234433) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90236420-0.90246007) × cos(1.34236604) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226448866297037 × 6371000     		do = 138.312198064592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90236420-0.90246007) × cos(1.34234433) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.226470012284186 × 6371000     		du = 138.325113774927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34236604)-sin(1.34234433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226448866297037-0.226470012284186)×R²
    abs(0.90246007-0.90236420)×2.11459871489461e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11459871489461e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11459871489461e-05×40589641000000     		ar = 19131.4632860315m²