Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4218 / 2948
↖ ↑ ↗
← N 44.964798°
E  5.361328°		 ← 3 457.39 m → N 44.964798°
E  5.405274°		 →
↑
3 458.31 m
↓
↑
3 458.31 m
↓
N 44.933697°
E  5.361328°		 ← 3 459.27 m →
11 959 970 m²		 N 44.933697°
E  5.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51495361328125 y=0.35992431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51495361328125 × 213)
    floor (0.51495361328125 × 8192)
    floor (4218.5)     		tx = 4218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35992431640625 × 213)
    floor (0.35992431640625 × 8192)
    floor (2948.5)     		ty = 2948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4218 / 2948 ti = "13/4218/2948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4218/2948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4218 ÷ 213
    4218 ÷ 8192     		x = 0.514892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2948 ÷ 213
    2948 ÷ 8192     		y = 0.35986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514892578125 × 2 - 1) × π
    0.02978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09357283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35986328125 × 2 - 1) × π
    0.2802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.880504972221191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09357283} λ = 0.09357283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.880504972221191))-π/2
    2×atan(2.4121174512348)-π/2
    2×1.17779004907765-π/2
    2.3555800981553-1.57079632675     		φ = 0.78478377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09357283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78478377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.964798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4218 KachelY 2948 0.09357283 0.78478377 5.361328 44.964798
    Oben rechts KachelX + 1 4219 KachelY 2948 0.09433982 0.78478377 5.405274 44.964798
    Unten links KachelX 4218 KachelY + 1 2949 0.09357283 0.78424095 5.361328 44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 4219 KachelY + 1 2949 0.09433982 0.78424095 5.405274 44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78478377-0.78424095) × R
    0.000542819999999944 × 6371000     		dl = 3458.30621999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78478377-0.78424095) × R
    0.000542819999999944 × 6371000     		dr = 3458.30621999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09357283-0.09433982) × cos(0.78478377) × R
    0.000766990000000009 × 0.707541089437804 × 6371000     		do = 3457.39478593716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09357283-0.09433982) × cos(0.78424095) × R
    0.000766990000000009 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 3459.26871481464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78478377)-sin(0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707541089437804-0.707924580986091)×R²
    abs(0.09433982-0.09357283)×0.000383491548287096×R²
    0.000766990000000009×0.000383491548287096×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383491548287096×40589641000000     		ar = 11959970.4968181m²