Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4217 / 12423
↖ ↑ ↗
← N 39.850721°
W133.670654°		 ← 937.87 m → N 39.850721°
W133.659668°		 →
↑
937.94 m
↓
↑
937.94 m
↓
N 39.842286°
W133.670654°		 ← 937.99 m →
879 721 m²		 N 39.842286°
W133.659668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128707885742188 y=0.379135131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128707885742188 × 215)
    floor (0.128707885742188 × 32768)
    floor (4217.5)     		tx = 4217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379135131835938 × 215)
    floor (0.379135131835938 × 32768)
    floor (12423.5)     		ty = 12423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4217 / 12423 ti = "15/4217/12423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4217/12423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4217 ÷ 215
    4217 ÷ 32768     		x = 0.128692626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12423 ÷ 215
    12423 ÷ 32768     		y = 0.379119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.74261474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33299303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379119873046875 × 2 - 1) × π
    0.24176025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.75951223758017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33299303} λ = -2.33299303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.75951223758017))-π/2
    2×atan(2.13723350403287)-π/2
    2×1.13316130810658-π/2
    2.26632261621316-1.57079632675     		φ = 0.69552629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33299303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.670654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69552629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.850721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4217 KachelY 12423 -2.33299303 0.69552629 -133.670654 39.850721
    Oben rechts KachelX + 1 4218 KachelY 12423 -2.33280128 0.69552629 -133.659668 39.850721
    Unten links KachelX 4217 KachelY + 1 12424 -2.33299303 0.69537907 -133.670654 39.842286
    Unten rechts KachelX + 1 4218 KachelY + 1 12424 -2.33280128 0.69537907 -133.659668 39.842286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69552629-0.69537907) × R
    0.000147220000000003 × 6371000     		dl = 937.938620000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69552629-0.69537907) × R
    0.000147220000000003 × 6371000     		dr = 937.938620000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33299303--2.33280128) × cos(0.69552629) × R
    0.000191749999999935 × 0.767716566986454 × 6371000     		do = 937.872691105589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33299303--2.33280128) × cos(0.69537907) × R
    0.000191749999999935 × 0.76781089570694 × 6371000     		du = 937.987926772937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69552629)-sin(0.69537907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767716566986454-0.76781089570694)×R²
    abs(-2.33280128--2.33299303)×9.43287204860921e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43287204860921e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43287204860921e-05×40589641000000     		ar = 879721.061211736m²