Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42164 / 10072
↖ ↑ ↗
← N 77.049271°
E 51.613770°		 ← 136.89 m → N 77.049271°
E 51.619263°		 →
↑
136.91 m
↓
↑
136.91 m
↓
N 77.048039°
E 51.613770°		 ← 136.90 m →
18 742 m²		 N 77.048039°
E 51.619263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643379211425781 y=0.153694152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643379211425781 × 216)
    floor (0.643379211425781 × 65536)
    floor (42164.5)     		tx = 42164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153694152832031 × 216)
    floor (0.153694152832031 × 65536)
    floor (10072.5)     		ty = 10072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42164 / 10072 ti = "16/42164/10072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42164/10072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42164 ÷ 216
    42164 ÷ 65536     		x = 0.64337158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10072 ÷ 216
    10072 ÷ 65536     		y = 0.1536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64337158203125 × 2 - 1) × π
    0.2867431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90083022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1536865234375 × 2 - 1) × π
    0.692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17595174755359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90083022} λ = 0.90083022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17595174755359))-π/2
    2×atan(8.81056656822159)-π/2
    2×1.45777989463037-π/2
    2.91555978926073-1.57079632675     		φ = 1.34476346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90083022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.613770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34476346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.049271°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42164 KachelY 10072 0.90083022 1.34476346 51.613770 77.049271
    Oben rechts KachelX + 1 42165 KachelY 10072 0.90092609 1.34476346 51.619263 77.049271
    Unten links KachelX 42164 KachelY + 1 10073 0.90083022 1.34474197 51.613770 77.048039
    Unten rechts KachelX + 1 42165 KachelY + 1 10073 0.90092609 1.34474197 51.619263 77.048039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34476346-1.34474197) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dl = 136.912789999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34476346-1.34474197) × R
    2.14899999999574e-05 × 6371000     		dr = 136.912789999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90083022-0.90092609) × cos(1.34476346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224113075411317 × 6371000     		do = 136.885525558317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90083022-0.90092609) × cos(1.34474197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.224134018721615 × 6371000     		du = 136.898317476111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34476346)-sin(1.34474197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224113075411317-0.224134018721615)×R²
    abs(0.90092609-0.90083022)×2.09433102988099e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.09433102988099e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.09433102988099e-05×40589641000000     		ar = 18742.2549038844m²