Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4216 / 2968
↖ ↑ ↗
← N 44.339565°
E  5.273438°		 ← 3 494.87 m → N 44.339565°
E  5.317383°		 →
↑
3 495.77 m
↓
↑
3 495.77 m
↓
N 44.308127°
E  5.273438°		 ← 3 496.74 m →
12 220 529 m²		 N 44.308127°
E  5.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51470947265625 y=0.36236572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51470947265625 × 213)
    floor (0.51470947265625 × 8192)
    floor (4216.5)     		tx = 4216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36236572265625 × 213)
    floor (0.36236572265625 × 8192)
    floor (2968.5)     		ty = 2968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4216 / 2968 ti = "13/4216/2968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4216/2968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4216 ÷ 213
    4216 ÷ 8192     		x = 0.5146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2968 ÷ 213
    2968 ÷ 8192     		y = 0.3623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5146484375 × 2 - 1) × π
    0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    0.275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.865165164342773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09203885} λ = 0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.865165164342773))-π/2
    2×atan(2.37539838469237)-π/2
    2×1.17233386462968-π/2
    2.34466772925936-1.57079632675     		φ = 0.77387140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.77387140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.339565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4216 KachelY 2968 0.09203885 0.77387140 5.273438 44.339565
    Oben rechts KachelX + 1 4217 KachelY 2968 0.09280584 0.77387140 5.317383 44.339565
    Unten links KachelX 4216 KachelY + 1 2969 0.09203885 0.77332270 5.273438 44.308127
    Unten rechts KachelX + 1 4217 KachelY + 1 2969 0.09280584 0.77332270 5.317383 44.308127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.77387140-0.77332270) × R
    0.000548699999999958 × 6371000     		dl = 3495.76769999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.77387140-0.77332270) × R
    0.000548699999999958 × 6371000     		dr = 3495.76769999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09203885-0.09280584) × cos(0.77387140) × R
    0.000766989999999995 × 0.715210278458376 × 6371000     		do = 3494.87022662586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09203885-0.09280584) × cos(0.77332270) × R
    0.000766989999999995 × 0.715593662326088 × 6371000     		du = 3496.74362932293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.77387140)-sin(0.77332270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.715210278458376-0.715593662326088)×R²
    abs(0.09280584-0.09203885)×0.000383383867712528×R²
    0.000766989999999995×0.000383383867712528×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383383867712528×40589641000000     		ar = 12220529.2508515m²