Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4216 / 2938
↖ ↑ ↗
← N 45.274887°
E  5.273438°		 ← 3 438.66 m → N 45.274887°
E  5.317383°		 →
↑
3 439.64 m
↓
↑
3 439.64 m
↓
N 45.243953°
E  5.273438°		 ← 3 440.53 m →
11 830 957 m²		 N 45.243953°
E  5.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51470947265625 y=0.35870361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51470947265625 × 213)
    floor (0.51470947265625 × 8192)
    floor (4216.5)     		tx = 4216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35870361328125 × 213)
    floor (0.35870361328125 × 8192)
    floor (2938.5)     		ty = 2938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4216 / 2938 ti = "13/4216/2938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4216/2938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4216 ÷ 213
    4216 ÷ 8192     		x = 0.5146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2938 ÷ 213
    2938 ÷ 8192     		y = 0.358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5146484375 × 2 - 1) × π
    0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358642578125 × 2 - 1) × π
    0.28271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.8881748761604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09203885} λ = 0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8881748761604))-π/2
    2×atan(2.43068929144669)-π/2
    2×1.18049608178503-π/2
    2.36099216357006-1.57079632675     		φ = 0.79019584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79019584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.274887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4216 KachelY 2938 0.09203885 0.79019584 5.273438 45.274887
    Oben rechts KachelX + 1 4217 KachelY 2938 0.09280584 0.79019584 5.317383 45.274887
    Unten links KachelX 4216 KachelY + 1 2939 0.09203885 0.78965595 5.273438 45.243953
    Unten rechts KachelX + 1 4217 KachelY + 1 2939 0.09280584 0.78965595 5.317383 45.243953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79019584-0.78965595) × R
    0.000539889999999987 × 6371000     		dl = 3439.63918999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79019584-0.78965595) × R
    0.000539889999999987 × 6371000     		dr = 3439.63918999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09203885-0.09280584) × cos(0.79019584) × R
    0.000766989999999995 × 0.703706186570858 × 6371000     		do = 3438.65555880996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09203885-0.09280584) × cos(0.78965595) × R
    0.000766989999999995 × 0.704089671033564 × 6371000     		du = 3440.52945306379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79019584)-sin(0.78965595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703706186570858-0.704089671033564)×R²
    abs(0.09280584-0.09203885)×0.000383484462705641×R²
    0.000766989999999995×0.000383484462705641×6371000²
    0.000766989999999995×0.000383484462705641×40589641000000     		ar = 11830957.468426m²