Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4216 / 12664
↖ ↑ ↗
← S 69.595890°
W 87.363281°		 ← 851.80 m → S 69.595890°
W 87.341309°		 →
↑
851.61 m
↓
↑
851.61 m
↓
S 69.603549°
W 87.363281°		 ← 851.49 m →
725 273 m²		 S 69.603549°
W 87.341309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257354736328125 y=0.772979736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257354736328125 × 214)
    floor (0.257354736328125 × 16384)
    floor (4216.5)     		tx = 4216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772979736328125 × 214)
    floor (0.772979736328125 × 16384)
    floor (12664.5)     		ty = 12664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4216 / 12664 ti = "14/4216/12664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4216/12664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4216 ÷ 214
    4216 ÷ 16384     		x = 0.25732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12664 ÷ 214
    12664 ÷ 16384     		y = 0.77294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25732421875 × 2 - 1) × π
    -0.4853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52477690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77294921875 × 2 - 1) × π
    -0.5458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71499052080713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52477690} λ = -1.52477690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71499052080713))-π/2
    2×atan(0.179965426632016)-π/2
    2×0.178059449683757-π/2
    0.356118899367515-1.57079632675     		φ = -1.21467743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52477690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.363281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21467743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.595890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4216 KachelY 12664 -1.52477690 -1.21467743 -87.363281 -69.595890
    Oben rechts KachelX + 1 4217 KachelY 12664 -1.52439341 -1.21467743 -87.341309 -69.595890
    Unten links KachelX 4216 KachelY + 1 12665 -1.52477690 -1.21481110 -87.363281 -69.603549
    Unten rechts KachelX + 1 4217 KachelY + 1 12665 -1.52439341 -1.21481110 -87.341309 -69.603549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21467743--1.21481110) × R
    0.000133669999999864 × 6371000     		dl = 851.611569999131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21467743--1.21481110) × R
    0.000133669999999864 × 6371000     		dr = 851.611569999131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52477690--1.52439341) × cos(-1.21467743) × R
    0.000383489999999931 × 0.348639277088577 × 6371000     		do = 851.800638157567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52477690--1.52439341) × cos(-1.21481110) × R
    0.000383489999999931 × 0.348513990833184 × 6371000     		du = 851.494536925406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21467743)-sin(-1.21481110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348639277088577-0.348513990833184)×R²
    abs(-1.52439341--1.52477690)×0.000125286255393209×R²
    0.000383489999999931×0.000125286255393209×6371000²
    0.000383489999999931×0.000125286255393209×40589641000000     		ar = 725272.940192064m²