Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4216 / 12515
↖ ↑ ↗
← N 39.070379°
W133.681641°		 ← 948.45 m → N 39.070379°
W133.670654°		 →
↑
948.51 m
↓
↑
948.51 m
↓
N 39.061849°
W133.681641°		 ← 948.56 m →
899 670 m²		 N 39.061849°
W133.670654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128677368164062 y=0.381942749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128677368164062 × 215)
    floor (0.128677368164062 × 32768)
    floor (4216.5)     		tx = 4216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381942749023438 × 215)
    floor (0.381942749023438 × 32768)
    floor (12515.5)     		ty = 12515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4216 / 12515 ti = "15/4216/12515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4216/12515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4216 ÷ 215
    4216 ÷ 32768     		x = 0.128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12515 ÷ 215
    12515 ÷ 32768     		y = 0.381927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33318478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381927490234375 × 2 - 1) × π
    0.23614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.741871458519989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33318478} λ = -2.33318478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741871458519989))-π/2
    2×atan(2.09986164351823)-π/2
    2×1.1263515413092-π/2
    2.25270308261839-1.57079632675     		φ = 0.68190676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33318478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68190676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.070379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4216 KachelY 12515 -2.33318478 0.68190676 -133.681641 39.070379
    Oben rechts KachelX + 1 4217 KachelY 12515 -2.33299303 0.68190676 -133.670654 39.070379
    Unten links KachelX 4216 KachelY + 1 12516 -2.33318478 0.68175788 -133.681641 39.061849
    Unten rechts KachelX + 1 4217 KachelY + 1 12516 -2.33299303 0.68175788 -133.670654 39.061849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68190676-0.68175788) × R
    0.000148879999999907 × 6371000     		dl = 948.514479999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68190676-0.68175788) × R
    0.000148879999999907 × 6371000     		dr = 948.514479999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33318478--2.33299303) × cos(0.68190676) × R
    0.000191749999999935 × 0.776372348567726 × 6371000     		do = 948.446933624694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33318478--2.33299303) × cos(0.68175788) × R
    0.000191749999999935 × 0.776466175234358 × 6371000     		du = 948.561555963349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68190676)-sin(0.68175788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776372348567726-0.776466175234358)×R²
    abs(-2.33299303--2.33318478)×9.38266666328236e-05×R²
    0.000191749999999935×9.38266666328236e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.38266666328236e-05×40589641000000     		ar = 899670.012189017m²