Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4216 / 12425
↖ ↑ ↗
← N 39.833850°
W133.681641°		 ← 938.10 m → N 39.833850°
W133.670654°		 →
↑
938.19 m
↓
↑
938.19 m
↓
N 39.825413°
W133.681641°		 ← 938.22 m →
880 176 m²		 N 39.825413°
W133.670654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128677368164062 y=0.379196166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128677368164062 × 215)
    floor (0.128677368164062 × 32768)
    floor (4216.5)     		tx = 4216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379196166992188 × 215)
    floor (0.379196166992188 × 32768)
    floor (12425.5)     		ty = 12425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4216 / 12425 ti = "15/4216/12425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4216/12425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4216 ÷ 215
    4216 ÷ 32768     		x = 0.128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12425 ÷ 215
    12425 ÷ 32768     		y = 0.379180908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33318478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379180908203125 × 2 - 1) × π
    0.24163818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.759128742383209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33318478} λ = -2.33318478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.759128742383209))-π/2
    2×atan(2.13641404238914)-π/2
    2×1.13301408221172-π/2
    2.26602816442344-1.57079632675     		φ = 0.69523184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33318478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69523184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.833850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4216 KachelY 12425 -2.33318478 0.69523184 -133.681641 39.833850
    Oben rechts KachelX + 1 4217 KachelY 12425 -2.33299303 0.69523184 -133.670654 39.833850
    Unten links KachelX 4216 KachelY + 1 12426 -2.33318478 0.69508458 -133.681641 39.825413
    Unten rechts KachelX + 1 4217 KachelY + 1 12426 -2.33299303 0.69508458 -133.670654 39.825413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69523184-0.69508458) × R
    0.000147260000000093 × 6371000     		dl = 938.193460000595m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69523184-0.69508458) × R
    0.000147260000000093 × 6371000     		dr = 938.193460000595m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33318478--2.33299303) × cos(0.69523184) × R
    0.000191749999999935 × 0.767905214191737 × 6371000     		do = 938.103149935965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33318478--2.33299303) × cos(0.69508458) × R
    0.000191749999999935 × 0.767999535244415 × 6371000     		du = 938.218376236018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69523184)-sin(0.69508458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767905214191737-0.767999535244415)×R²
    abs(-2.33299303--2.33318478)×9.4321052678481e-05×R²
    0.000191749999999935×9.4321052678481e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.4321052678481e-05×40589641000000     		ar = 880176.293946895m²