Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42145 / 10144
↖ ↑ ↗
← N 76.960333°
E 51.509400°		 ← 137.81 m → N 76.960333°
E 51.514893°		 →
↑
137.80 m
↓
↑
137.80 m
↓
N 76.959094°
E 51.509400°		 ← 137.82 m →
18 992 m²		 N 76.959094°
E 51.514893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643089294433594 y=0.154792785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643089294433594 × 216)
    floor (0.643089294433594 × 65536)
    floor (42145.5)     		tx = 42145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154792785644531 × 216)
    floor (0.154792785644531 × 65536)
    floor (10144.5)     		ty = 10144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42145 / 10144 ti = "16/42145/10144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42145/10144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42145 ÷ 216
    42145 ÷ 65536     		x = 0.643081665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10144 ÷ 216
    10144 ÷ 65536     		y = 0.15478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643081665039062 × 2 - 1) × π
    0.286163330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89900862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15478515625 × 2 - 1) × π
    0.6904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.1690488340083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89900862} λ = 0.89900862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1690488340083))-π/2
    2×atan(8.74995741944291)-π/2
    2×1.45700377066474-π/2
    2.91400754132947-1.57079632675     		φ = 1.34321121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89900862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.509400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34321121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.960333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42145 KachelY 10144 0.89900862 1.34321121 51.509400 76.960333
    Oben rechts KachelX + 1 42146 KachelY 10144 0.89910449 1.34321121 51.514893 76.960333
    Unten links KachelX 42145 KachelY + 1 10145 0.89900862 1.34318958 51.509400 76.959094
    Unten rechts KachelX + 1 42146 KachelY + 1 10145 0.89910449 1.34318958 51.514893 76.959094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34321121-1.34318958) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dl = 137.804729999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34321121-1.34318958) × R
    2.16299999999947e-05 × 6371000     		dr = 137.804729999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89900862-0.89910449) × cos(1.34321121) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225625570452356 × 6371000     		do = 137.809339031569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89900862-0.89910449) × cos(1.34318958) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225646642650439 × 6371000     		du = 137.822209672445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34321121)-sin(1.34318958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225625570452356-0.225646642650439)×R²
    abs(0.89910449-0.89900862)×2.10721980825612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.10721980825612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.10721980825612e-05×40589641000000     		ar = 18991.6655752667m²