Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42144 / 10080
↖ ↑ ↗
← N 77.039419°
E 51.503906°		 ← 137 m → N 77.039419°
E 51.509400°		 →
↑
137.04 m
↓
↑
137.04 m
↓
N 77.038186°
E 51.503906°		 ← 137.01 m →
18 776 m²		 N 77.038186°
E 51.509400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643074035644531 y=0.153816223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643074035644531 × 216)
    floor (0.643074035644531 × 65536)
    floor (42144.5)     		tx = 42144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153816223144531 × 216)
    floor (0.153816223144531 × 65536)
    floor (10080.5)     		ty = 10080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42144 / 10080 ti = "16/42144/10080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42144/10080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42144 ÷ 216
    42144 ÷ 65536     		x = 0.64306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10080 ÷ 216
    10080 ÷ 65536     		y = 0.15380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    0.2861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89891274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15380859375 × 2 - 1) × π
    0.6923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17518475715967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89891274} λ = 0.89891274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17518475715967))-π/2
    2×atan(8.80381153915112)-π/2
    2×1.45769391621412-π/2
    2.91538783242824-1.57079632675     		φ = 1.34459151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89891274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34459151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.039419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42144 KachelY 10080 0.89891274 1.34459151 51.503906 77.039419
    Oben rechts KachelX + 1 42145 KachelY 10080 0.89900862 1.34459151 51.509400 77.039419
    Unten links KachelX 42144 KachelY + 1 10081 0.89891274 1.34457000 51.503906 77.038186
    Unten rechts KachelX + 1 42145 KachelY + 1 10081 0.89900862 1.34457000 51.509400 77.038186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34459151-1.34457000) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dl = 137.040210000369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34459151-1.34457000) × R
    2.15100000000579e-05 × 6371000     		dr = 137.040210000369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89891274-0.89900862) × cos(1.34459151) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224280648230635 × 6371000     		do = 137.002165907111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89891274-0.89900862) × cos(1.34457000) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.224301610202837 × 6371000     		du = 137.014970558855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34459151)-sin(1.34457000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224280648230635-0.224301610202837)×R²
    abs(0.89900862-0.89891274)×2.09619722022214e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09619722022214e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09619722022214e-05×40589641000000     		ar = 18775.6829631697m²