Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4214 / 12433
↖ ↑ ↗
← N 39.766325°
W133.703613°		 ← 938.98 m → N 39.766325°
W133.692627°		 →
↑
939.09 m
↓
↑
939.09 m
↓
N 39.757880°
W133.703613°		 ← 939.09 m →
881 833 m²		 N 39.757880°
W133.692627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128616333007812 y=0.379440307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128616333007812 × 215)
    floor (0.128616333007812 × 32768)
    floor (4214.5)     		tx = 4214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379440307617188 × 215)
    floor (0.379440307617188 × 32768)
    floor (12433.5)     		ty = 12433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4214 / 12433 ti = "15/4214/12433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4214/12433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4214 ÷ 215
    4214 ÷ 32768     		x = 0.12860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12433 ÷ 215
    12433 ÷ 32768     		y = 0.379425048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.7427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33356827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379425048828125 × 2 - 1) × π
    0.24114990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.757594761595367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33356827} λ = -2.33356827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757594761595367))-π/2
    2×atan(2.13313933660326)-π/2
    2×1.13242481696197-π/2
    2.26484963392394-1.57079632675     		φ = 0.69405331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33356827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69405331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.766325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4214 KachelY 12433 -2.33356827 0.69405331 -133.703613 39.766325
    Oben rechts KachelX + 1 4215 KachelY 12433 -2.33337653 0.69405331 -133.692627 39.766325
    Unten links KachelX 4214 KachelY + 1 12434 -2.33356827 0.69390591 -133.703613 39.757880
    Unten rechts KachelX + 1 4215 KachelY + 1 12434 -2.33337653 0.69390591 -133.692627 39.757880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69405331-0.69390591) × R
    0.00014740000000002 × 6371000     		dl = 939.085400000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69405331-0.69390591) × R
    0.00014740000000002 × 6371000     		dr = 939.085400000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33356827--2.33337653) × cos(0.69405331) × R
    0.000191739999999996 × 0.768659604019993 × 6371000     		do = 938.975770856889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33356827--2.33337653) × cos(0.69390591) × R
    0.000191739999999996 × 0.768753881265084 × 6371000     		du = 939.09093763347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69405331)-sin(0.69390591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768659604019993-0.768753881265084)×R²
    abs(-2.33337653--2.33356827)×9.42772450905904e-05×R²
    0.000191739999999996×9.42772450905904e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.42772450905904e-05×40589641000000     		ar = 881832.514681367m²