Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42130 / 9982
↖ ↑ ↗
← N 77.159604°
E 51.427002°		 ← 135.74 m → N 77.159604°
E 51.432495°		 →
↑
135.70 m
↓
↑
135.70 m
↓
N 77.158384°
E 51.427002°		 ← 135.75 m →
18 421 m²		 N 77.158384°
E 51.432495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642860412597656 y=0.152320861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642860412597656 × 216)
    floor (0.642860412597656 × 65536)
    floor (42130.5)     		tx = 42130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152320861816406 × 216)
    floor (0.152320861816406 × 65536)
    floor (9982.5)     		ty = 9982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42130 / 9982 ti = "16/42130/9982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42130/9982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42130 ÷ 216
    42130 ÷ 65536     		x = 0.642852783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9982 ÷ 216
    9982 ÷ 65536     		y = 0.152313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642852783203125 × 2 - 1) × π
    0.28570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89757051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152313232421875 × 2 - 1) × π
    0.69537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1845803894852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89757051} λ = 0.89757051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1845803894852))-π/2
    2×atan(8.88691872634702)-π/2
    2×1.45874273574648-π/2
    2.91748547149295-1.57079632675     		φ = 1.34668914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89757051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.427002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34668914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.159604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42130 KachelY 9982 0.89757051 1.34668914 51.427002 77.159604
    Oben rechts KachelX + 1 42131 KachelY 9982 0.89766638 1.34668914 51.432495 77.159604
    Unten links KachelX 42130 KachelY + 1 9983 0.89757051 1.34666784 51.427002 77.158384
    Unten rechts KachelX + 1 42131 KachelY + 1 9983 0.89766638 1.34666784 51.432495 77.158384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34668914-1.34666784) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dl = 135.702300000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34668914-1.34666784) × R
    2.13000000000019e-05 × 6371000     		dr = 135.702300000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89757051-0.89766638) × cos(1.34668914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222235964275565 × 6371000     		do = 135.739009033669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89757051-0.89766638) × cos(1.34666784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222256731574151 × 6371000     		du = 135.751693445662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34668914)-sin(1.34666784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222235964275565-0.222256731574151)×R²
    abs(0.89766638-0.89757051)×2.07672985861607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07672985861607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07672985861607e-05×40589641000000     		ar = 18420.9563783207m²