Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4213 / 12516
↖ ↑ ↗
← N 39.061849°
W133.714600°		 ← 948.56 m → N 39.061849°
W133.703613°		 →
↑
948.64 m
↓
↑
948.64 m
↓
N 39.053318°
W133.714600°		 ← 948.68 m →
899 900 m²		 N 39.053318°
W133.703613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128585815429688 y=0.381973266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128585815429688 × 215)
    floor (0.128585815429688 × 32768)
    floor (4213.5)     		tx = 4213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381973266601562 × 215)
    floor (0.381973266601562 × 32768)
    floor (12516.5)     		ty = 12516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4213 / 12516 ti = "15/4213/12516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4213/12516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4213 ÷ 215
    4213 ÷ 32768     		x = 0.128570556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12516 ÷ 215
    12516 ÷ 32768     		y = 0.3819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.74285888671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33376002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3819580078125 × 2 - 1) × π
    0.236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.741679710921509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33376002} λ = -2.33376002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741679710921509))-π/2
    2×atan(2.09945903869143)-π/2
    2×1.12627710304456-π/2
    2.25255420608912-1.57079632675     		φ = 0.68175788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33376002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.714600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68175788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.061849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4213 KachelY 12516 -2.33376002 0.68175788 -133.714600 39.061849
    Oben rechts KachelX + 1 4214 KachelY 12516 -2.33356827 0.68175788 -133.703613 39.061849
    Unten links KachelX 4213 KachelY + 1 12517 -2.33376002 0.68160898 -133.714600 39.053318
    Unten rechts KachelX + 1 4214 KachelY + 1 12517 -2.33356827 0.68160898 -133.703613 39.053318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68175788-0.68160898) × R
    0.000148900000000007 × 6371000     		dl = 948.641900000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68175788-0.68160898) × R
    0.000148900000000007 × 6371000     		dr = 948.641900000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33376002--2.33356827) × cos(0.68175788) × R
    0.000191750000000379 × 0.776466175234358 × 6371000     		do = 948.561555965546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33376002--2.33356827) × cos(0.68160898) × R
    0.000191750000000379 × 0.776559997291287 × 6371000     		du = 948.676172672806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68175788)-sin(0.68160898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776466175234358-0.776559997291287)×R²
    abs(-2.33356827--2.33376002)×9.38220569288717e-05×R²
    0.000191750000000379×9.38220569288717e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.38220569288717e-05×40589641000000     		ar = 899899.603486622m²