Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42127 / 9968
↖ ↑ ↗
← N 77.176684°
E 51.410523°		 ← 135.56 m → N 77.176684°
E 51.416016°		 →
↑
135.57 m
↓
↑
135.57 m
↓
N 77.175465°
E 51.410523°		 ← 135.57 m →
18 380 m²		 N 77.175465°
E 51.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642814636230469 y=0.152107238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642814636230469 × 216)
    floor (0.642814636230469 × 65536)
    floor (42127.5)     		tx = 42127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152107238769531 × 216)
    floor (0.152107238769531 × 65536)
    floor (9968.5)     		ty = 9968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42127 / 9968 ti = "16/42127/9968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42127/9968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42127 ÷ 216
    42127 ÷ 65536     		x = 0.642807006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9968 ÷ 216
    9968 ÷ 65536     		y = 0.152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642807006835938 × 2 - 1) × π
    0.285614013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.89728289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152099609375 × 2 - 1) × π
    0.69580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89728289} λ = 0.89728289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18592262267456))-π/2
    2×atan(8.8988550524872)-π/2
    2×1.45889178443587-π/2
    2.91778356887174-1.57079632675     		φ = 1.34698724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89728289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.410523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34698724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.176684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42127 KachelY 9968 0.89728289 1.34698724 51.410523 77.176684
    Oben rechts KachelX + 1 42128 KachelY 9968 0.89737876 1.34698724 51.416016 77.176684
    Unten links KachelX 42127 KachelY + 1 9969 0.89728289 1.34696596 51.410523 77.175465
    Unten rechts KachelX + 1 42128 KachelY + 1 9969 0.89737876 1.34696596 51.416016 77.175465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34698724-1.34696596) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dl = 135.574880000786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34698724-1.34696596) × R
    2.12800000001234e-05 × 6371000     		dr = 135.574880000786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89728289-0.89737876) × cos(1.34698724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.221945309018804 × 6371000     		do = 135.561480357554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89728289-0.89737876) × cos(1.34696596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22196605822654 × 6371000     		du = 135.574153719876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34698724)-sin(1.34696596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221945309018804-0.22196605822654)×R²
    abs(0.89737876-0.89728289)×2.07492077355653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.07492077355653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.07492077355653e-05×40589641000000     		ar = 18379.5905275699m²