Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4212 / 2947
↖ ↑ ↗
← N 44.995883°
E  5.097656°		 ← 3 455.52 m → N 44.995883°
E  5.141602°		 →
↑
3 456.46 m
↓
↑
3 456.46 m
↓
N 44.964798°
E  5.097656°		 ← 3 457.39 m →
11 947 104 m²		 N 44.964798°
E  5.141602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51422119140625 y=0.35980224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51422119140625 × 213)
    floor (0.51422119140625 × 8192)
    floor (4212.5)     		tx = 4212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35980224609375 × 213)
    floor (0.35980224609375 × 8192)
    floor (2947.5)     		ty = 2947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4212 / 2947 ti = "13/4212/2947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4212/2947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4212 ÷ 213
    4212 ÷ 8192     		x = 0.51416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2947 ÷ 213
    2947 ÷ 8192     		y = 0.3597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51416015625 × 2 - 1) × π
    0.0283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08897089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3597412109375 × 2 - 1) × π
    0.280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.881271962615112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08897089} λ = 0.08897089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.881271962615112))-π/2
    2×atan(2.41396823182365)-π/2
    2×1.17806131415248-π/2
    2.35612262830496-1.57079632675     		φ = 0.78532630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08897089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78532630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 44.995883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4212 KachelY 2947 0.08897089 0.78532630 5.097656 44.995883
    Oben rechts KachelX + 1 4213 KachelY 2947 0.08973788 0.78532630 5.141602 44.995883
    Unten links KachelX 4212 KachelY + 1 2948 0.08897089 0.78478377 5.097656 44.964798
    Unten rechts KachelX + 1 4213 KachelY + 1 2948 0.08973788 0.78478377 5.141602 44.964798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78532630-0.78478377) × R
    0.000542530000000041 × 6371000     		dl = 3456.45863000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78532630-0.78478377) × R
    0.000542530000000041 × 6371000     		dr = 3456.45863000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08897089-0.08973788) × cos(0.78532630) × R
    0.000766990000000009 × 0.707157594456286 × 6371000     		do = 3455.52084028322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08897089-0.08973788) × cos(0.78478377) × R
    0.000766990000000009 × 0.707541089437804 × 6371000     		du = 3457.39478593716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78532630)-sin(0.78478377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707157594456286-0.707541089437804)×R²
    abs(0.08973788-0.08897089)×0.000383494981518018×R²
    0.000766990000000009×0.000383494981518018×6371000²
    0.000766990000000009×0.000383494981518018×40589641000000     		ar = 11947103.7303985m²