Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4212 / 12412
↖ ↑ ↗
← N 39.943436°
W133.725586°		 ← 936.60 m → N 39.943436°
W133.714600°		 →
↑
936.66 m
↓
↑
936.66 m
↓
N 39.935013°
W133.725586°		 ← 936.72 m →
877 338 m²		 N 39.935013°
W133.714600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128555297851562 y=0.378799438476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128555297851562 × 215)
    floor (0.128555297851562 × 32768)
    floor (4212.5)     		tx = 4212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378799438476562 × 215)
    floor (0.378799438476562 × 32768)
    floor (12412.5)     		ty = 12412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4212 / 12412 ti = "15/4212/12412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4212/12412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4212 ÷ 215
    4212 ÷ 32768     		x = 0.1285400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12412 ÷ 215
    12412 ÷ 32768     		y = 0.3787841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.742919921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33395177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3787841796875 × 2 - 1) × π
    0.242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.761621461163452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33395177} λ = -2.33395177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761621461163452))-π/2
    2×atan(2.14174616477478)-π/2
    2×1.13397040380041-π/2
    2.26794080760081-1.57079632675     		φ = 0.69714448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33395177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69714448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.943436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4212 KachelY 12412 -2.33395177 0.69714448 -133.725586 39.943436
    Oben rechts KachelX + 1 4213 KachelY 12412 -2.33376002 0.69714448 -133.714600 39.943436
    Unten links KachelX 4212 KachelY + 1 12413 -2.33395177 0.69699746 -133.725586 39.935013
    Unten rechts KachelX + 1 4213 KachelY + 1 12413 -2.33376002 0.69699746 -133.714600 39.935013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69714448-0.69699746) × R
    0.000147019999999998 × 6371000     		dl = 936.664419999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69714448-0.69699746) × R
    0.000147019999999998 × 6371000     		dr = 936.664419999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33395177--2.33376002) × cos(0.69714448) × R
    0.000191749999999935 × 0.766678643017404 × 6371000     		do = 936.604722446481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33395177--2.33376002) × cos(0.69699746) × R
    0.000191749999999935 × 0.766773026134962 × 6371000     		du = 936.720024567428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69714448)-sin(0.69699746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766678643017404-0.766773026134962)×R²
    abs(-2.33376002--2.33395177)×9.43831175581611e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43831175581611e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43831175581611e-05×40589641000000     		ar = 877338.320397359m²