Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42118 / 9974
↖ ↑ ↗
← N 77.169367°
E 51.361084°		 ← 135.65 m → N 77.169367°
E 51.366577°		 →
↑
135.64 m
↓
↑
135.64 m
↓
N 77.168147°
E 51.361084°		 ← 135.66 m →
18 400 m²		 N 77.168147°
E 51.366577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642677307128906 y=0.152198791503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642677307128906 × 216)
    floor (0.642677307128906 × 65536)
    floor (42118.5)     		tx = 42118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152198791503906 × 216)
    floor (0.152198791503906 × 65536)
    floor (9974.5)     		ty = 9974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42118 / 9974 ti = "16/42118/9974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42118/9974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42118 ÷ 216
    42118 ÷ 65536     		x = 0.642669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9974 ÷ 216
    9974 ÷ 65536     		y = 0.152191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642669677734375 × 2 - 1) × π
    0.28533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.89642002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152191162109375 × 2 - 1) × π
    0.69561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18534737987912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89642002} λ = 0.89642002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18534737987912))-π/2
    2×atan(8.8937375222829)-π/2
    2×1.45882793031055-π/2
    2.9176558606211-1.57079632675     		φ = 1.34685953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89642002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34685953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.169367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42118 KachelY 9974 0.89642002 1.34685953 51.361084 77.169367
    Oben rechts KachelX + 1 42119 KachelY 9974 0.89651590 1.34685953 51.366577 77.169367
    Unten links KachelX 42118 KachelY + 1 9975 0.89642002 1.34683824 51.361084 77.168147
    Unten rechts KachelX + 1 42119 KachelY + 1 9975 0.89651590 1.34683824 51.366577 77.168147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34685953-1.34683824) × R
    2.12899999998406e-05 × 6371000     		dl = 135.638589998984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34685953-1.34683824) × R
    2.12899999998406e-05 × 6371000     		dr = 135.638589998984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89642002-0.89651590) × cos(1.34685953) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222069832008231 × 6371000     		do = 135.651685545647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89642002-0.89651590) × cos(1.34683824) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222090590362855 × 6371000     		du = 135.664365817292m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34685953)-sin(1.34683824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222069832008231-0.222090590362855)×R²
    abs(0.89651590-0.89642002)×2.0758354624395e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.0758354624395e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.0758354624395e-05×40589641000000     		ar = 18400.46332604m²