Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4211 / 12691
↖ ↑ ↗
← S 69.801724°
W 87.473145°		 ← 843.59 m → S 69.801724°
W 87.451172°		 →
↑
843.46 m
↓
↑
843.46 m
↓
S 69.809309°
W 87.473145°		 ← 843.29 m →
711 404 m²		 S 69.809309°
W 87.451172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.257049560546875 y=0.774627685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.257049560546875 × 214)
    floor (0.257049560546875 × 16384)
    floor (4211.5)     		tx = 4211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774627685546875 × 214)
    floor (0.774627685546875 × 16384)
    floor (12691.5)     		ty = 12691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4211 / 12691 ti = "14/4211/12691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4211/12691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4211 ÷ 214
    4211 ÷ 16384     		x = 0.25701904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12691 ÷ 214
    12691 ÷ 16384     		y = 0.77459716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.4859619140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.52669438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.5491943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72534489112506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52669438} λ = -1.52669438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72534489112506))-π/2
    2×atan(0.178111612064231)-π/2
    2×0.176263213541348-π/2
    0.352526427082696-1.57079632675     		φ = -1.21826990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52669438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.473145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21826990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.801724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4211 KachelY 12691 -1.52669438 -1.21826990 -87.473145 -69.801724
    Oben rechts KachelX + 1 4212 KachelY 12691 -1.52631088 -1.21826990 -87.451172 -69.801724
    Unten links KachelX 4211 KachelY + 1 12692 -1.52669438 -1.21840229 -87.473145 -69.809309
    Unten rechts KachelX + 1 4212 KachelY + 1 12692 -1.52631088 -1.21840229 -87.451172 -69.809309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21826990--1.21840229) × R
    0.000132390000000093 × 6371000     		dl = 843.456690000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21826990--1.21840229) × R
    0.000132390000000093 × 6371000     		dr = 843.456690000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52669438--1.52631088) × cos(-1.21826990) × R
    0.00038349999999987 × 0.345269966993875 × 6371000     		do = 843.590687051558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52669438--1.52631088) × cos(-1.21840229) × R
    0.00038349999999987 × 0.345145715502044 × 6371000     		du = 843.287106052974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21826990)-sin(-1.21840229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345269966993875-0.345145715502044)×R²
    abs(-1.52631088--1.52669438)×0.000124251491831096×R²
    0.00038349999999987×0.000124251491831096×6371000²
    0.00038349999999987×0.000124251491831096×40589641000000     		ar = 711404.18094287m²