Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4211 / 12427
↖ ↑ ↗
← N 39.816975°
W133.736572°		 ← 938.33 m → N 39.816975°
W133.725586°		 →
↑
938.38 m
↓
↑
938.38 m
↓
N 39.808536°
W133.736572°		 ← 938.45 m →
880 572 m²		 N 39.808536°
W133.725586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128524780273438 y=0.379257202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128524780273438 × 215)
    floor (0.128524780273438 × 32768)
    floor (4211.5)     		tx = 4211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379257202148438 × 215)
    floor (0.379257202148438 × 32768)
    floor (12427.5)     		ty = 12427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4211 / 12427 ti = "15/4211/12427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4211/12427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4211 ÷ 215
    4211 ÷ 32768     		x = 0.128509521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12427 ÷ 215
    12427 ÷ 32768     		y = 0.379241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.74298095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33414352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379241943359375 × 2 - 1) × π
    0.24151611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.758745247186249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33414352} λ = -2.33414352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758745247186249))-π/2
    2×atan(2.13559489494475)-π/2
    2×1.13286682014593-π/2
    2.26573364029186-1.57079632675     		φ = 0.69493731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33414352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.736572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69493731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.816975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4211 KachelY 12427 -2.33414352 0.69493731 -133.736572 39.816975
    Oben rechts KachelX + 1 4212 KachelY 12427 -2.33395177 0.69493731 -133.725586 39.816975
    Unten links KachelX 4211 KachelY + 1 12428 -2.33414352 0.69479002 -133.736572 39.808536
    Unten rechts KachelX + 1 4212 KachelY + 1 12428 -2.33395177 0.69479002 -133.725586 39.808536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69493731-0.69479002) × R
    0.000147290000000022 × 6371000     		dl = 938.384590000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69493731-0.69479002) × R
    0.000147290000000022 × 6371000     		dr = 938.384590000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33414352--2.33395177) × cos(0.69493731) × R
    0.000191749999999935 × 0.768093846046007 × 6371000     		do = 938.333590012941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33414352--2.33395177) × cos(0.69479002) × R
    0.000191749999999935 × 0.768188152993315 × 6371000     		du = 938.44879908132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69493731)-sin(0.69479002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768093846046007-0.768188152993315)×R²
    abs(-2.33395177--2.33414352)×9.43069473077207e-05×R²
    0.000191749999999935×9.43069473077207e-05×6371000²
    0.000191749999999935×9.43069473077207e-05×40589641000000     		ar = 880571.837946956m²