Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42100 / 9988
↖ ↑ ↗
← N 77.152278°
E 51.262207°		 ← 135.83 m → N 77.152278°
E 51.267700°		 →
↑
135.83 m
↓
↑
135.83 m
↓
N 77.151056°
E 51.262207°		 ← 135.84 m →
18 451 m²		 N 77.151056°
E 51.267700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642402648925781 y=0.152412414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642402648925781 × 216)
    floor (0.642402648925781 × 65536)
    floor (42100.5)     		tx = 42100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152412414550781 × 216)
    floor (0.152412414550781 × 65536)
    floor (9988.5)     		ty = 9988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42100 / 9988 ti = "16/42100/9988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42100/9988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42100 ÷ 216
    42100 ÷ 65536     		x = 0.64239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9988 ÷ 216
    9988 ÷ 65536     		y = 0.15240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64239501953125 × 2 - 1) × π
    0.2847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89469429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15240478515625 × 2 - 1) × π
    0.6951904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18400514668976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89469429} λ = 0.89469429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18400514668976))-π/2
    2×atan(8.88180806045382)-π/2
    2×1.45867879800099-π/2
    2.91735759600198-1.57079632675     		φ = 1.34656127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89469429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34656127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.152278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42100 KachelY 9988 0.89469429 1.34656127 51.262207 77.152278
    Oben rechts KachelX + 1 42101 KachelY 9988 0.89479017 1.34656127 51.267700 77.152278
    Unten links KachelX 42100 KachelY + 1 9989 0.89469429 1.34653995 51.262207 77.151056
    Unten rechts KachelX + 1 42101 KachelY + 1 9989 0.89479017 1.34653995 51.267700 77.151056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34656127-1.34653995) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dl = 135.829720000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34656127-1.34653995) × R
    2.13200000001024e-05 × 6371000     		dr = 135.829720000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89469429-0.89479017) × cos(1.34656127) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222360634801873 × 6371000     		do = 135.829322862532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89469429-0.89479017) × cos(1.34653995) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222381420994168 × 6371000     		du = 135.842020138859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34656127)-sin(1.34653995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222360634801873-0.222381420994168)×R²
    abs(0.89479017-0.89469429)×2.07861922943697e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.07861922943697e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.07861922943697e-05×40589641000000     		ar = 18450.5212267712m²