Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42100 / 10004
↖ ↑ ↗
← N 77.132720°
E 51.262207°		 ← 136.03 m → N 77.132720°
E 51.267700°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
N 77.131496°
E 51.262207°		 ← 136.05 m →
18 504 m²		 N 77.131496°
E 51.267700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642402648925781 y=0.152656555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642402648925781 × 216)
    floor (0.642402648925781 × 65536)
    floor (42100.5)     		tx = 42100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152656555175781 × 216)
    floor (0.152656555175781 × 65536)
    floor (10004.5)     		ty = 10004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42100 / 10004 ti = "16/42100/10004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42100/10004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42100 ÷ 216
    42100 ÷ 65536     		x = 0.64239501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10004 ÷ 216
    10004 ÷ 65536     		y = 0.15264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64239501953125 × 2 - 1) × π
    0.2847900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89469429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15264892578125 × 2 - 1) × π
    0.6947021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18247116590192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89469429} λ = 0.89469429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18247116590192))-π/2
    2×atan(8.86819398206474)-π/2
    2×1.45850812193506-π/2
    2.91701624387012-1.57079632675     		φ = 1.34621992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89469429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34621992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.132720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42100 KachelY 10004 0.89469429 1.34621992 51.262207 77.132720
    Oben rechts KachelX + 1 42101 KachelY 10004 0.89479017 1.34621992 51.267700 77.132720
    Unten links KachelX 42100 KachelY + 1 10005 0.89469429 1.34619857 51.262207 77.131496
    Unten rechts KachelX + 1 42101 KachelY + 1 10005 0.89479017 1.34619857 51.267700 77.131496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34621992-1.34619857) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34621992-1.34619857) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89469429-0.89479017) × cos(1.34621992) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222693425967843 × 6371000     		do = 136.032608838796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89469429-0.89479017) × cos(1.34619857) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222714239787116 × 6371000     		du = 136.045322991103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34621992)-sin(1.34619857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222693425967843-0.222714239787116)×R²
    abs(0.89479017-0.89469429)×2.08138192730467e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.08138192730467e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.08138192730467e-05×40589641000000     		ar = 18504.1357772636m²