Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4210 / 2940
↖ ↑ ↗
← N 45.213004°
E  5.009765°		 ← 3 442.45 m → N 45.213004°
E  5.053711°		 →
↑
3 443.33 m
↓
↑
3 443.33 m
↓
N 45.182037°
E  5.009765°		 ← 3 444.32 m →
11 856 727 m²		 N 45.182037°
E  5.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51397705078125 y=0.35894775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51397705078125 × 213)
    floor (0.51397705078125 × 8192)
    floor (4210.5)     		tx = 4210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35894775390625 × 213)
    floor (0.35894775390625 × 8192)
    floor (2940.5)     		ty = 2940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4210 / 2940 ti = "13/4210/2940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4210/2940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4210 ÷ 213
    4210 ÷ 8192     		x = 0.513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2940 ÷ 213
    2940 ÷ 8192     		y = 0.35888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513916015625 × 2 - 1) × π
    0.02783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08743690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    0.2822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.886640895372559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08743690} λ = 0.08743690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.886640895372559))-π/2
    2×atan(2.42696351913456)-π/2
    2×1.17995605177252-π/2
    2.35991210354504-1.57079632675     		φ = 0.78911578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08743690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.009765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78911578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.213004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4210 KachelY 2940 0.08743690 0.78911578 5.009765 45.213004
    Oben rechts KachelX + 1 4211 KachelY 2940 0.08820390 0.78911578 5.053711 45.213004
    Unten links KachelX 4210 KachelY + 1 2941 0.08743690 0.78857531 5.009765 45.182037
    Unten rechts KachelX + 1 4211 KachelY + 1 2941 0.08820390 0.78857531 5.053711 45.182037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78911578-0.78857531) × R
    0.000540470000000015 × 6371000     		dl = 3443.3343700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78911578-0.78857531) × R
    0.000540470000000015 × 6371000     		dr = 3443.3343700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08743690-0.08820390) × cos(0.78911578) × R
    0.000767000000000004 × 0.70447314899197 × 6371000     		do = 3442.44819751877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08743690-0.08820390) × cos(0.78857531) × R
    0.000767000000000004 × 0.704856634201619 × 6371000     		du = 3444.32211985438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78911578)-sin(0.78857531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70447314899197-0.704856634201619)×R²
    abs(0.08820390-0.08743690)×0.000383485209648926×R²
    0.000767000000000004×0.000383485209648926×6371000²
    0.000767000000000004×0.000383485209648926×40589641000000     		ar = 11856726.7546733m²