Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4210 / 12434
↖ ↑ ↗
← N 39.757880°
W133.747558°		 ← 939.09 m → N 39.757880°
W133.736572°		 →
↑
939.21 m
↓
↑
939.21 m
↓
N 39.749433°
W133.747558°		 ← 939.21 m →
882 060 m²		 N 39.749433°
W133.736572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128494262695312 y=0.379470825195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128494262695312 × 215)
    floor (0.128494262695312 × 32768)
    floor (4210.5)     		tx = 4210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379470825195312 × 215)
    floor (0.379470825195312 × 32768)
    floor (12434.5)     		ty = 12434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4210 / 12434 ti = "15/4210/12434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4210/12434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4210 ÷ 215
    4210 ÷ 32768     		x = 0.12847900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12434 ÷ 215
    12434 ÷ 32768     		y = 0.37945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12847900390625 × 2 - 1) × π
    -0.7430419921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33433526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.757403013996887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33433526} λ = -2.33433526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757403013996887))-π/2
    2×atan(2.13273035147045)-π/2
    2×1.13235111812591-π/2
    2.26470223625181-1.57079632675     		φ = 0.69390591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33433526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.747558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69390591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.757880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4210 KachelY 12434 -2.33433526 0.69390591 -133.747558 39.757880
    Oben rechts KachelX + 1 4211 KachelY 12434 -2.33414352 0.69390591 -133.736572 39.757880
    Unten links KachelX 4210 KachelY + 1 12435 -2.33433526 0.69375849 -133.747558 39.749433
    Unten rechts KachelX + 1 4211 KachelY + 1 12435 -2.33414352 0.69375849 -133.736572 39.749433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69390591-0.69375849) × R
    0.000147420000000009 × 6371000     		dl = 939.212820000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69390591-0.69375849) × R
    0.000147420000000009 × 6371000     		dr = 939.212820000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33433526--2.33414352) × cos(0.69390591) × R
    0.000191739999999996 × 0.768753881265084 × 6371000     		do = 939.09093763347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33433526--2.33414352) × cos(0.69375849) × R
    0.000191739999999996 × 0.768848154596272 × 6371000     		du = 939.206099628923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69390591)-sin(0.69375849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768753881265084-0.768848154596272)×R²
    abs(-2.33414352--2.33433526)×9.4273331187722e-05×R²
    0.000191739999999996×9.4273331187722e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.4273331187722e-05×40589641000000     		ar = 882060.330179567m²